РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5628 Добавить в вариант

Инженерная олимпиада Звезда, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Сфера вписанная, Методы геометрии. Метод площадей, метод объемов, Методы геометрии. Подобие, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих, Методы геометрии. Теорема Пифагора

Дана правильная четырёхугольная пирамида. Сторона основания равна 12, длина бокового ребра равна 10. Сфера Q₁ вписана в пирамиду. Сфера Q₂ касается Q₁ и всех боковых граней пирамиды. Найдите радиус сферы Q₂.

Решение.

Обозначим через r₁ и r₂ соответственно радиусы сфер Q₁ и Q₂. Пусть ABCD  — основание пирамиды, M  — вершина пирамиды, E  — центр основания, F  — середина CD. С помощью теоремы Пифагора найдём апофему боковой грани MF и высоту пирамиды $h_1=M E:$

$M F= корень из: начало аргумента: M C в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус F C в квадрате правая круглая скобка =8 ;$ $h= корень из: начало аргумента: M F в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус E F в квадрате правая круглая скобка =2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Теперь вычислим объём пирамиды V и её полную поверхность S:

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_A B C D умножить на h_1=96 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента ;$ $S=S_A B C D плюс 4 S_M C D=144 плюс 4 умножить на 48=336.$

По известной формуле определим радиус вписанной сферы:

$r_1= дробь: числитель: 3 V, знаменатель: S конец дроби = дробь: числитель: 288 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 336 конец дроби = дробь: числитель: 6 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби .$

Проведём касательную плоскость к сфере Q₁, параллельную основанию пирамиды. Она от сечёт от неё пирамиду $T=A_1 B_1 C_1 D_1 M.$ Очевидно, сфеpa Q₂ вписана в эту пирамиду. Легко найти высоту отсечённой пирамиды:

$h_2=h_1 минус 2 r_1= дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби .$

Пирамида T подобна исходной с коэффициент ом $k= дробь: числитель: h_2, знаменатель: h_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .$ В таком же от ношении находятся и радиусы их вписанных сфер. Поэтому $r_2=k r_1= дробь: числитель: 6 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 49 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 6 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 49 конец дроби .$

Критерии проверки:

За полное решение 12 баллов. Если найден только радиус 1-й сферы, 4 балла.

Ответ: $дробь: числитель: 6 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 49 конец дроби .$

Аналоги к заданию № 5620: 5628 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе