Сколько отрицательных чисел среди чисел вида где n — натуралное число от 1 до 2019?
Решение.
Так как то Далее, это число даёт остаток 135 при делении на 360, получаем
Тогда это число даёт остаток 225 при делении на 360. Дальше последовательность остатков при делении на 360 зацикливается, то есть положительные и отрицательные котангенсы будут чередоваться.
Первое число не входит в этот цикл и оно положительно. Среди остальных чисел положительных ровно половина, то есть 1009. Значит, ответ 1010.
Ответ: 1010.
Критерии проверки:
При доказательстве периодичности уровня строгости, приведенного в авторском решении, достаточно для полного балла.
где n — натуралное число от 1 до 2019?
то 
Далее, 
это число даёт остаток 135 при делении на 360, получаем 
это число даёт остаток 225 при делении