Дан куб, на ребрах которого расставляют стрелки и затем находят сумму всех 12 полученных векторов. Сколько различных векторов можно получить, по-разному расставляя стрелки на ребрах?
Решение.
Введем систему координат Oxyz так, чтобы ребра куба были параллельно ее осям, а начало координат совпадало с одной из вершин куба. 12 полученных вектора разбиваются на три группы: 4 вектора и коллинеарных оси Ox, 4 вектора и коллинеарных оси Оy, и 4 вектора и коллинеарных оси Oz.
Тогда где
Вектор может принимать ровно 5 различных значений: где — единичными вектор оси Ox.
Такое же утверждение справедливо для векторов и
Поскольку равенство представляет собой разложение вектора по координатным осям, то он может принимать ровно различных значений.
Ответ: 125.
Критерии проверки:
Содержание критерия
Оценка
Баллы
Задача решена полностью
+
12
Ход решения верный, но в результате арифметических ошибок получен неверный ответ
+/−
8
При наличии верного плана решения допущены ошибки комбинаторного характера
всех 12 полученных векторов. Сколько различных векторов 
и 
коллинеарных оси Ox, 4 вектора 
и 
коллинеарных оси Оy, и 4 вектора 
и 
коллинеарных оси Oz. 
где 
может принимать ровно 5 различных значений: 
где 
— единичными вектор оси Ox. 
и 
представляет собой разложение вектора по координатным осям, то он может принимать ровно 
различных значений.