Дан параллелограмм ABCD. Окружность 
с диаметром 13 описана вокруг треугольника ABM, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. Так Ω вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка EM равна 12. Найдите длины отрезков BC, BK и периметр треугольника AKM.
Обозначим градусные меры дуг BM и AE через 
и 
соответственно. Тогда по теореме о вписанном угле
Значит,
В треугольнике ABC углы при вершинах A и C равны, поэтому треугольник ABC равнобедренный, 
Следовательно, ABCD — ромб. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол AMB прямой и AB — диаметр окружности. Значит,
Так как BE параллельна AK, получаем, что AEBK — прямоугольник, а значит, EK — также диаметр. Наконец, из параллельности AD и BC имеем
Диаметр окружности равен 13, значит, 
и 
как стороны ромба. Так как EK — диаметр, то 
и
Хорды MK и BM равны (т. к. равны соответствующие им дуги), 
Тогда
и из треугольника 
находим, что
Отсюда
Далее вычисляем:
Следовательно, периметр треугольника EBM равен
Ответ: 
