РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1175 Добавить в вариант

Дан параллелограмм ABCD. Окружность $\Omega$ с диаметром 5 описана вокруг треугольника ABM, где M  — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. Так Ω вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка EM равна 4. Найдите длины отрезков BC, BK и периметр треугольника AKM.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим градусные меры дуг BM и AE через $2 альфа$ и $4 альфа$ соответственно. Тогда по теореме о вписанном угле

$\angle A B E= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 альфа =2 альфа ,$

$\angle B A M= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 альфа = альфа .$

Значит,

$\angle A B C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A B E=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 альфа ;$

$\angle A C B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B A C минус \angle A B C= альфа .$

В треугольнике ABC углы при вершинах A и C равны, поэтому треугольник ABC равнобедренный, $A B=B C .$ Следовательно, ABCD ромб. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол AMB прямой и AB  — диаметр окружности. Значит,

$\angle B K A=\angle B E A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Так как BE параллельна AK, получаем, что AEBK  — прямоугольник, а значит, EK  — также диаметр. Наконец, из параллельности AD и BC имеем

$\angle C A D=\angle A C B= альфа .$

Диаметр окружности равен 5, значит, $E K=A B=5;$ $B C=A B=5$ (как стороны ромба). Так как EK  — диаметр, то $\angle E M K=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

$K M= корень из: начало аргумента: E K в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус E M в квадрате правая круглая скобка =3 .$

Хорды MK и BM равны (т. к. равны соответствующие им дуги), $B M=3.$ Тогда

$A M= корень из: начало аргумента: A B в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус B M в квадрате правая круглая скобка =4,$

и из треугольника ABM находим, что

$косинус альфа = дробь: числитель: A M, знаменатель: A B конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ,$

$синус альфа = дробь: числитель: B M, знаменатель: A B конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Отсюда

$синус 2 альфа =2 синус альфа косинус альфа = дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби ,$

$косинус 2 альфа = косинус в квадрате альфа минус синус в квадрате альфа = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$

Далее вычисляем:

$B K=A B синус 2 альфа =5 умножить на дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби ;$

$B E=A B косинус 2 альфа =5 умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби .$

Следовательно, периметр треугольника EBM равен

$3 плюс 4 плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 42, знаменатель: 5 конец дроби .$

Ответ: $BC=5,$ $BK= дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби ,$ $P_AKM= дробь: числитель: 42, знаменатель: 5 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Доказано, что ABCD ромб — 2 балла.

Без доказательства использовано, что EAKB прямоугольник (и при этом не доказано, что ABCD ромб) — снять 2 балла.

Найден отрезок AD (BC) — 1 балл.

Найден отрезок BK — 2 балла.

Аналоги к заданию № 1168: 1175 Все

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности описанные, Геометрия: планиметрия. Четырехугольник: параллелограмм, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих, Методы геометрии. Тригонометрия в геометрии

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь