Дан параллелограмм ABCD. Окружность с диаметром 5 описана вокруг треугольника ABM, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. Так Ω вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка EM равна 4. Найдите длины отрезков BC, BK и периметр треугольника AKM.
Решение. Обозначим градусные меры дуг BM и AE через и соответственно. Тогда по теореме о вписанном угле
Значит,
В треугольнике ABC углы при вершинах A и C равны, поэтому треугольник ABC равнобедренный, Следовательно, ABCD ромб. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол AMB прямой и AB — диаметр окружности. Значит,
Так как BE параллельна AK, получаем, что AEBK — прямоугольник, а значит, EK — также диаметр. Наконец, из параллельности AD и BC имеем
Диаметр окружности равен 5, значит, (как стороны ромба). Так как EK — диаметр, то
Хорды MK и BM равны (т. к. равны соответствующие им дуги), Тогда
и из треугольника ABM находим, что
Отсюда
Далее вычисляем:
Следовательно, периметр треугольника EBM равен
Ответ:
Критерии проверки:Доказано, что ABCD ромб — 2 балла.
Без доказательства использовано, что EAKB прямоугольник (и при этом не доказано, что ABCD ромб) — снять 2 балла.
Найден отрезок AD (BC) — 1 балл.
Найден отрезок BK — 2 балла.