РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1198 Добавить в вариант

Даны две линейные функции f(x) и g(x) такие, что графики y = f(x) и y = g(x)  — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции $y = левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате$ касается графика функции $y = минус 50g левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите все значения A такие, что график функции $y = левая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате$ касается графика функции $y = дробь: числитель: f левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: A конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a x плюс b$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =a x плюс c,$ где $a не равно q 0 .$ Касание графиков $y= левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате$ и $y= минус 50 g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ эквивалентно тому, что уравнение $левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = минус 50 g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ имеет ровно одно решение. Получаем

$левая круглая скобка a x плюс b правая круглая скобка в квадрате = минус 50 левая круглая скобка a x плюс c правая круглая скобка , a в квадрате x в квадрате плюс 2 a левая круглая скобка b плюс 25 правая круглая скобка x плюс b в квадрате плюс 50 c=0 .$

Четверть дискриминанта этого уравнения равна

$a в квадрате левая круглая скобка b плюс 25 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате левая круглая скобка b в квадрате плюс 50 c правая круглая скобка =25 a в квадрате левая круглая скобка 25 плюс 2 b минус 2 c правая круглая скобка ,$

откуда $2 левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка = минус 25.$

Аналогично, касание графиков $y= левая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате$ и $y= дробь: числитель: f левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: A конец дроби$ означает, что уравнение $левая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: f левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: A конец дроби$ имеет единственное решение. Это уравнение (при условии $A не равно q 0 правая круглая скобка$ равносильно следующим:

$A левая круглая скобка a x плюс c правая круглая скобка в квадрате =a x плюс b равносильно A a в квадрате x в квадрате плюс a левая круглая скобка 2 A c минус 1 правая круглая скобка x плюс A c в квадрате минус b=0 .$

Дискриминант равен

$D=a в квадрате левая круглая скобка 2 A c минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 A a в квадрате левая круглая скобка A c в квадрате минус b правая круглая скобка =a в квадрате левая круглая скобка 4 A b минус 4 A c плюс 1 правая круглая скобка .$

Он обращается в ноль при

$A= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 левая круглая скобка c минус b правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 50 конец дроби .$

Ответ: 0,02.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Найдена константа $f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус g левая круглая скобка x правая круглая скобка$  — 3 балла.

Аналоги к заданию № 1191: 1198 Все

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Анализ. Касательная

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь