Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите количество пар целых чисел (a; b) таких, что 
и 
и при этом площадь S фигуры, заданной системой неравенств
такова, что число 2S кратно 5.
Решение.
Спрятать критерииДанная система неравенств задаёт на плоскости треугольник с вершинами 
и 
Этот треугольник прямоугольный, его удвоенная площадь равна произведению катетов, т. е. ab. По условию ab : 5, поэтому одно из чисел a или b должно делиться на 5.
При указанных ограничениях есть 14 значений a и 10 значений b, кратных 5. Значит, существует 
пар
таких, что 
и 
таких, что 
Кроме того, есть 
пар таких, что оба числа a и b делятся на 5. Тогда всего искомых пар
Ответ: 1260.
эквивалентно условию 
—?
Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год