сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те ко­ли­че­ство пар целых чисел (a; b) таких, что 1 мень­ше или равно a мень­ше или равно 80,1 мень­ше или равно b мень­ше или равно 30, и при этом пло­щадь S фи­гу­ры, за­дан­ной си­сте­мой не­ра­венств

 си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: a конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: b конец дроби боль­ше или равно 1,x мень­ше или равно a, y мень­ше или равно b, конец си­сте­мы .

та­ко­ва, что число 2S крат­но 5.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Дан­ная си­сте­ма не­ра­венств задаёт на плос­ко­сти тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми  левая круг­лая скоб­ка a; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , левая круг­лая скоб­ка 0; b пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка a; b пра­вая круг­лая скоб­ка . Этот тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, его удво­ен­ная пло­щадь равна про­из­ве­де­нию ка­те­тов, т. е. ab. По усло­вию a b: 5, по­это­му одно из чисел a или b долж­но де­лить­ся на 5.

При ука­зан­ных огра­ни­че­ни­ях есть 16 зна­че­ний a и 6 зна­че­ний b, крат­ных 5. Зна­чит, су­ще­ству­ет 16 умно­жить на 30= 480 пар  левая круг­лая скоб­ка a; b пра­вая круг­лая скоб­ка таких, что a: 5 и 6 умно­жить на 80=480 пар таких, что b: 5 . Кроме того, есть 16 умно­жить на 6=96 пар таких, что оба числа a и b де­лят­ся на 5. Тогда всего ис­ко­мых пар

480 плюс 480 минус 96=864 .

Ответ: 864.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Изоб­ра­же­но мно­же­ство точек, удо­вле­тво­ря­ю­щих си­сте­ме не­ра­венств — 1 балл.

Ука­за­но, что усло­вие 2S\vdots 5 эк­ви­ва­лент­но усло­вию ab\vdots 5 — 1 балл.

Под­счи­та­но ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов — 2 балла.


Аналоги к заданию № 1248: 1255 Все