Пер­вое урав­не­ние на ОДЗ рав­но­силь­но урав­не­нию

Так ОДЗ опре­де­ля­ет­ся не­ра­вен­ством

Итак, пер­вое урав­не­ние задаёт от­ре­зок на плос­ко­сти, рас­по­ло­же­ние ко­то­ро­го за­ви­сит от па­ра­мет­ра a.

Вто­рое урав­не­ние может быть пе­ре­пи­са­но в виде

это урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром ра­ди­у­са (также может быть точка или пу­стое мно­же­ство, но тогда при любом a не более од­но­го ре­ше­ния).

Си­сте­ма имеет не более од­но­го ре­ше­ния при любом b тогда и толь­ко тогда, когда пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из M на пря­мую, со­дер­жа­щую от­ре­зок AB, не по­па­да­ет во внут­рен­нюю точку от­рез­ка (если окруж­ность пе­ре­се­ка­ет пря­мую, то точки пе­ре­се­че­ния на­хо­дят­ся по раз­ные сто­ро­ны от про­ек­ции цен­тра окруж­но­сти на пря­мую).

Со­ста­вим урав­не­ние пря­мой, про­хо­дя­щей через М и пер­пен­ди­ку­ляр­ной AB. По­сколь­ку про­из­ве­де­ние уг­ло­вых ко­эф­фи­ци­ен­тов вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ных пря­мых равно −1, то её уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен и её урав­не­ние имеет вид

Ор­ди­на­та точки пе­ре­се­че­ния этой пря­мой и пря­мой AB может быть най­де­на из си­сте­мы урав­не­ний и   — это

Чтобы эта точка не ока­за­лась внут­рен­ней точ­кой от­рез­ка, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы от­ку­да или

Ответ: