Найдите все значения параметра a такое, что система
имеет не более одного решения при любом значении параметра b.
Первое уравнение на ОДЗ равносильно уравнению
Так ОДЗ определяется неравенством
Итак, первое уравнение задаёт отрезок 
на плоскости, расположение которого зависит от параметра a.
Второе уравнение может быть переписано в виде
это уравнение окружности с центром 
радиуса 
(также может быть точка или пустое множество, но тогда при любом a не более одного решения).
Система имеет не более одного решения при любом b тогда и только тогда, когда перпендикуляр, опущенный из M на прямую, содержащую отрезок AB, не попадает во внутреннюю точку отрезка (если окружность пересекает прямую, то точки пересечения находятся по разные стороны от проекции центра окружности на прямую).
Составим уравнение прямой, проходящей через М и перпендикулярной AB. Поскольку произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно −1, то её угловой коэффициент равен 
и её уравнение имеет вид
Ордината точки пересечения этой прямой и прямой AB может быть найдена из системы уравнений 
—
Чтобы эта точка не оказалась внутренней точкой отрезка, необходимо и достаточно, чтобы 
откуда 
Ответ: 
При геометрическом способе решения:
а) изображено второе множество (окружность с переменным радиусом или точка) — 1 6алл;
б) верно описано первое множество (семейство параллельных отрезков) — 2 балла;
в) верная геометрическая формулировка условия наличия ровно двух решений — 2 балла.
При алгебраическом способе решения:
а) первое уравнение приведено к линейному с ограничением относительно одной из переменных — 2 балла;
б) сделана подстановка и сформулировано верное условие для параболы — 3 балла.
Наверх