сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 21 № 136
i

Най­ди­те все пары на­ту­раль­ных чисел (x, y) удо­вле­тво­ря­ю­щих ра­вен­ству:

x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =100000.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ра­вен­ство x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =100000 пе­ре­пи­шем в виде

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: z конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: z конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =10,

где z=100. Обо­зна­чив ещё p= дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: z конец дроби ,q= дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: z конец дроби , по­лу­чим урав­не­ние

p в квад­ра­те плюс q в квад­ра­те =10,p,q при­над­ле­жит Q . \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

За­да­ча све­де­на, таким об­ра­зом, к по­ис­ку точек с по­ло­жи­тель­ны­ми ра­ци­о­наль­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми (со зна­ме­на­те­лем 100) на окруж­но­сти ра­ди­у­са  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат. Урав­не­нию (1) удо­вле­тво­ря­ют, на­при­мер, числа p_0=3,  q_0=1.

Осталь­ные ра­ци­о­наль­ные точки будем ис­кать сле­ду­ю­щим об­ра­зом: через точку с ко­ор­ди­на­та­ми p_0=3, q_0=1 будем про­во­дить все­воз­мож­ные пря­мые

p=k левая круг­лая скоб­ка q минус q_0 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс p_0, \qquad левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка

а ко­эф­фи­ци­ент k под­би­рать так, чтобы точка пе­ре­се­че­ния пря­мой (2) и окруж­но­сти (1) (от­лич­ная от p_0=3,  q_0=1 пра­вая круг­лая скоб­ка имела ра­ци­о­наль­ные ко­ор­ди­на­ты. Под­ста­вив (2) в (1), по­лу­чим

 левая круг­лая скоб­ка k левая круг­лая скоб­ка q минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс q в квад­ра­те =10 рав­но­силь­но k в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка q минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 6k левая круг­лая скоб­ка q минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс q в квад­ра­те минус 1=0,

далее, со­кра­ща­ем на q минус 1, по­лу­ча­ем:

k в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка q минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 6k плюс q плюс 1=0 рав­но­силь­но q= дробь: чис­ли­тель: k в квад­ра­те минус 6k минус 1, зна­ме­на­тель: 1 плюс k в квад­ра­те конец дроби .

Под­став­ляя по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние для q в (2), най­дем

p= дробь: чис­ли­тель: минус 3k в квад­ра­те минус 2k плюс 3, зна­ме­на­тель: 1 плюс k в квад­ра­те конец дроби .

По­сколь­ку p0, q0 ра­ци­о­наль­ны, а в точке пе­ре­се­че­ния ра­ци­о­наль­ны­ми долж­ны быть еще и p, q то, как сле­ду­ет из (2), ко­эф­фи­ци­ент k также ра­ци­о­на­лен. По­ла­гая k= дробь: чис­ли­тель: m, зна­ме­на­тель: n конец дроби ,m, n при­над­ле­жит Z , вы­ра­же­ния для p и q пе­ре­пи­шем в виде

p= дробь: чис­ли­тель: 3 левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те минус m в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2mn, зна­ме­на­тель: n в квад­ра­те плюс m в квад­ра­те конец дроби ,

q= дробь: чис­ли­тель: m в квад­ра­те минус 6mn минус n в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: n в квад­ра­те плюс m в квад­ра­те конец дроби .

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа равны

x=3 левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те минус m в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2mn,

y=m в квад­ра­те минус 6mn минус n в квад­ра­те ,

где m в квад­ра­те плюс n в квад­ра­те =100.

По­след­нее урав­не­ние ре­ша­ет­ся пе­ре­бо­ром:

 левая круг­лая скоб­ка |m|=10, |n|=0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

 левая круг­лая скоб­ка |m|=0, |n|=10 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

 левая круг­лая скоб­ка |m|=8, |n|=6 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

 левая круг­лая скоб­ка |m|=6, |n|=8 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Для най­ден­ных m, n (а также с уче­том от­ме­чен­но­го ранее ре­ше­ния p_0=3, q_0=1 пра­вая круг­лая скоб­ка по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щие пары на­ту­раль­ных чисел (x, y).

 

Ответ: (12, 316), (100, 300), (180, 260), (260, 180), (300, 100), (316, 12).


Аналоги к заданию № 136: 141 Все

Источник/автор: Диана Лебедева