РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 141 Добавить в вариант

Найдите все пары натуральных чисел (x, y) удовлетворяющих равенству:

$x в квадрате плюс y в квадрате =100000.$

Спрятать решение

Решение.

Равенство $x в квадрате плюс y в квадрате =100000$ перепишем в виде

$левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: z конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: y, знаменатель: z конец дроби правая круглая скобка в квадрате =10,$

где $z=100.$ Обозначив ещё $p= дробь: числитель: x, знаменатель: z конец дроби ,q= дробь: числитель: y, знаменатель: z конец дроби ,$ получим уравнение

$p в квадрате плюс q в квадрате =10,p,q принадлежит Q . \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

Задача сведена, таким образом, к поиску точек с положительными рациональными координатами (со знаменателем 100) на окружности радиуса $корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,$ с центром в начале координат. Уравнению (1) удовлетворяют, например, числа $p_0=3,$ $q_0=1.$

Остальные рациональные точки будем искать следующим образом: через точку с координатами $p_0=3,$ $q_0=1$ будем проводить всевозможные прямые

$p=k левая круглая скобка q минус q_0 правая круглая скобка плюс p_0, \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

а коэффициент k подбирать так, чтобы точка пересечения прямой (2) и окружности (1) (отличная от $p_0=3,$ $q_0=1 правая круглая скобка$ имела рациональные координаты. Подставив (2) в (1), получим

$левая круглая скобка k левая круглая скобка q минус 1 правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс q в квадрате =10 равносильно k в квадрате левая круглая скобка q минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 6k левая круглая скобка q минус 1 правая круглая скобка плюс q в квадрате минус 1=0,$

далее, сокращаем на $q минус 1,$ получаем:

$k в квадрате левая круглая скобка q минус 1 правая круглая скобка плюс 6k плюс q плюс 1=0 равносильно q= дробь: числитель: k в квадрате минус 6k минус 1, знаменатель: 1 плюс k в квадрате конец дроби .$

Подставляя полученное выражение для q в (2), найдем

$p= дробь: числитель: минус 3k в квадрате минус 2k плюс 3, знаменатель: 1 плюс k в квадрате конец дроби .$

Поскольку p₀, q₀ рациональны, а в точке пересечения рациональными должны быть еще и p, q то, как следует из (2), коэффициент k также рационален. Полагая $k= дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби ,m, n принадлежит Z ,$ выражения для p и q перепишем в виде

$p= дробь: числитель: 3 левая круглая скобка n в квадрате минус m в квадрате правая круглая скобка минус 2mn, знаменатель: n в квадрате плюс m в квадрате конец дроби ,$

$q= дробь: числитель: m в квадрате минус 6mn минус n в квадрате , знаменатель: n в квадрате плюс m в квадрате конец дроби .$

Таким образом, искомые числа равны

$x=3 левая круглая скобка n в квадрате минус m в квадрате правая круглая скобка минус 2mn,$

$y=m в квадрате минус 6mn минус n в квадрате ,$

где $m в квадрате плюс n в квадрате =100.$

Последнее уравнение решается перебором:

$левая круглая скобка |m|=10, |n|=0 правая круглая скобка ,$

$левая круглая скобка |m|=0, |n|=10 правая круглая скобка ,$

$левая круглая скобка |m|=8, |n|=6 правая круглая скобка ,$

$левая круглая скобка |m|=6, |n|=8 правая круглая скобка .$

Для найденных m, n (а также с учетом отмеченного ранее решения $p_0=3,$ $q_0=1 правая круглая скобка$ получаем следующие пары натуральных чисел (x, y).

Ответ: (12, 316), (100, 300), (180, 260), (260, 180), (300, 100), (316, 12).

Аналоги к заданию № 136: 141 Все

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах Диофантовы уравнения

Источник/автор: Диана Лебедева

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь