Тип 21 № 141
Источник/автор: Диана Лебедева
i
Найдите все пары натуральных чисел (x, y) удовлетворяющих равенству:
Решение. Равенство перепишем в виде
где Обозначив ещё получим уравнение
Задача сведена, таким образом, к поиску точек с положительными рациональными координатами (со знаменателем 100) на окружности радиуса с центром в начале координат. Уравнению (1) удовлетворяют, например, числа
Остальные рациональные точки будем искать следующим образом: через точку с координатами будем проводить всевозможные прямые
а коэффициент k подбирать так, чтобы точка пересечения прямой (2) и окружности (1) (отличная от имела рациональные координаты. Подставив (2) в (1), получим
далее, сокращаем на
получаем:
Подставляя полученное выражение для q в (2), найдем
Поскольку p0, q0 рациональны, а в точке пересечения рациональными должны быть еще и p, q то, как следует из (2), коэффициент k также рационален. Полагая выражения для p и q перепишем в виде
Таким образом, искомые числа равны
где
Последнее уравнение решается перебором:
Для найденных m, n (а также с учетом отмеченного ранее решения получаем следующие пары натуральных чисел (x, y).
Ответ: (12, 316), (100, 300), (180, 260), (260, 180), (300, 100), (316, 12).
Аналоги к заданию № 136: 141 Все
Источник/автор: Диана Лебедева