РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1499 Добавить в вариант

Найдите количество натуральных чисел k, не превосходящих 445 000 и таких, что $k в квадрате минус 1$ делится нацело на 445.

Спрятать решение

Решение.

Разложив делимое и делитель на множители, получаем условие

$левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка : левая круглая скобка 5 умножить на 89 правая круглая скобка .$

Значит, одно из чисел $левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка$ или $левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка$ делится на 89. Рассмотрим два случая.

а)  Когда $левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка : 89,$ то есть $k=89 p плюс 88,$ $p принадлежит Z .$ Тогда получаем

$левая круглая скобка 89 p плюс 87 правая круглая скобка левая круглая скобка 89 p плюс 89 правая круглая скобка : левая круглая скобка 5 умножить на 89 правая круглая скобка равносильно левая круглая скобка 89 p плюс 87 правая круглая скобка левая круглая скобка p плюс 1 правая круглая скобка : 5 .$

Первый множитель делится на 5 при $p=5 q плюс 2,$ а второй  — при $p=5 q плюс 4,$ $q принадлежит Z ,$ откуда получаем, что $k=445 q плюс 276$ и $k=445 q плюс 444,$ $q принадлежит Z .$

б)  Когда $левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка : 89,$ то есть $k=89 p плюс 1,$ $q принадлежит Z .$ Тогда получаем

$89 p левая круглая скобка 89 p плюс 2 правая круглая скобка : левая круглая скобка 5 умножить на 89 правая круглая скобка равносильно левая круглая скобка 89 p плюс 2 правая круглая скобка p: 5 .$

Первый множитель делится на 5 при $p=5 q плюс 2,$ а второй  — при $p=5 q,$ $q принадлежит Z ,$ откуда получаем, что $k=445 q плюс 179$ и $k=445 q плюс 1,$ $q принадлежит Z .$

Итак, условию задачи удовлетворяют числа, дающие остатки 276, 444, 179, 1 при делении на 445, то есть подходят каждые 4 из 445 подряд идущих чисел. Так как $445000=445 умножить на 1000,$ получаем $4 умножить на 1000=4000$ чисел.

Ответ: 4000.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Задача сведена к исследованию четырех случаев — 1 балл.

Верно рассмотрен ровно один случай — 1 балл.

Верно рассмотрены ровно два случая — 2 балла.

Верно рассмотрены ровно три случая — 3 балла.

Верно рассмотрены все четыре случая — 5 баллов.

Случай обращения в ноль делимого не учтен при подсчете — баллы не снимать.

Аналоги к заданию № 1493: 1499 Все

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2015 год

Классификатор: Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь