сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дана функ­ция g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус в сте­пе­ни 4 x плюс синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: 2 синус в сте­пе­ни 4 x плюс 3 ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби Най­ди­те:

а)  корни урав­не­ния g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

б)  наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ния функ­ции g(x).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем дан­ную функ­цию:

 g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 3 ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 2 конец дроби =1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 2 конец дроби .

Обо­зна­чим  ко­си­нус в квад­ра­те x=t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0 ; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

а)  После за­ме­ны урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 t в квад­ра­те минус t плюс 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 2 t в квад­ра­те минус t плюс 2=2 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t=0, t=0,5. конец со­во­куп­но­сти .

Воз­вра­ща­ясь к пе­ре­ме­ной x, по­лу­ча­ем  ко­си­нус в квад­ра­те x=0 \quad или  ко­си­нус в квад­ра­те x=0,5, от­ку­да x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: k Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби или x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс k Пи , k при­над­ле­жит Z .

б)  Зна­ме­на­тель дроби по­ло­жи­те­лен при всех t, а в чис­ли­те­ле  — фик­си­ро­ван­ное по­ло­жи­тель­ное число, по­это­му мак­си­мум дроби до­сти­га­ет­ся при ми­ни­му­ме зна­ме­на­те­ля, а ми­ни­мум дроби  — при мак­си­му­ме зна­ме­на­те­ля. Итак,

g_\min =g левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби , \quad g_\max =g левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

(Ми­ни­мум зна­ме­на­те­ля по­лу­ча­ет­ся в вер­ши­не па­ра­бо­лы, т. е. при t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , а мак­си­мум  — в точке, наи­бо­лее удалённой от вер­ши­ны, т. е. при t=1.)

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: k Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс k Пи : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) g_\min = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби , g_\max = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Функ­ция пре­об­ра­зо­ва­на к ра­ци­о­наль­ной от­но­си­тель­но одной три­го­но­мет­ри­че­ской функ­ции — 1 балл.

Ре­ше­но урав­не­ние пунк­та а) — 2 балла.

При этом не­вер­но ре­ше­ны эле­мен­тар­ные три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния — (−1) балл.

Най­де­ны мак­си­мум и ми­ни­мум функ­ции — 4 балла.


Аналоги к заданию № 1504: 1560 Все