Дано натуральное число 
где n — натуральное число. Известно, что x имеет ровно три различных простых делителя, один из которых равен 7. Найдите x.
Запишем x в виде 
где 
Один простой делитель x равен 2. Поэтому мы должны найти все N, имеющие ровно два нечетных простых делителя, один из которых равен 7. Остатки от деления степеней двойки на 7 равны 2, 4, 1 и далее циклически повторяются. Тогда делимость N на 7 означает, что 
кратно 3, то есть 
Если 
то 
что нам не подходит. При 
и 
мы получим соответственно 
и 
откуда 
и 
Покажем, что при 
решений не будет. Рассмотрим два случая.
1) Когда m нечетно. Тогда 
где 
и 
Заметим, что p и q взаимно просты, поскольку
и общим делителем p и q может быть только 3. Но p не кратно 3 при нечетном m. Одно из чисел p и q делится на 7. Если 
то 
и, повторяя предыдущие рассуждения для p вместо N, мы разложим p в произведение двух взаимно простых чисел, отличных от 1. Тогда N есть произведение трех взаимно простых чисел и, тем самым, имеет не менее трех различных простых делителей, что невозможно.
Пусть теперь 
Так как число q взаимно просто с p, оно не может и меть других простых делителей, откуда 
при некотором натуральном s. Остаток от деления на 8 у 
такой же, как у 
то есть 1 , поскольку 
Тогда s четно и q является точным квадратом. Но число 
лежит строго между 
и 
и потому точным квадратом быть не может.
2) Когда m четно. Тогда 
при 
и 
где 
и 
Числа p и q взаимно просты, так как они нечетны и 
Заметим, что число p раскладывается на два взаимно простых множителя. Действительно, при четном k запишем p как разность квадратов, а при нечетном воспользуемся разложением из 1). Значит, N есть произведение трех взаимно простых чисел, отличных от 1. Поэтому N имеет не менее трех различных простых делителей, что невозможно.
Ответ: 2016 или 16 352.