Дано натуральное число 
где n — натуральное число. Известно, что x имеет ровно три различных простых делителя, один из которых равен 3. Найдите x.
Запишем x в виде 
где 
Один простой делитель x равен 2. Поэтому мы должны найти все N, имеющие ровно два нечетных простых делителя, один из которых равен 3. Делимость N на 3 означает, что 
четно, то есть 
Если 
то 
что нам не подходит. При 
и 
мы получим соответственно 
и 
откуда 
и 
Покажем, что при 
решений не будет. Заметим, что 
где 
и 
Числа p и q взаимно просты, так как они нечетны и 
Одно их них кратно 3. Если 
то m четно, и мы можем разложить p в произведение двух взаимно простых чисел, отличных от 1, тем же способом, что и N. Тогда N есть произведение трех взаимно простых чисел и, тем самым, имеет не менее трех различных простых делителей, что невозможно.
Пусть теперь Так как число q взаимно просто с p, оно не может и меть других простых делителей. Отсюда 
и 
при некотором натуральном s. Рассмотрим два случая.
1) Когда s четко. Тогда 
причем 
так как 
Поэтому
В правой части равенства стоит произведение соседних четных чисел, больших 4. Но одно из них не делится на 4 и потому не является степенью двойки, что невозможно.
2) Когда s нечетно. Тогда 
при некотором натуральном k, и
Правая часть этого равенства кратна 4, так как содержит два четных множителя, а левая часть при 
не делится на 4. Значит, этот случай также невозможен.
Ответ: 480 или 2016.
Дано натуральное число 
где n — натуральное число. Известно, что x имеет ровно три различных простых делителя, один из которых равен 13. Найдите x.
Поскольку число x четно, один из его простых делителей равен 2. Поэтому мы должны деления степеней 9 на 13 равны 9, 3, 1 и далее циклически повторяются. Тогда делимость x на 13 означает, что n кратно 3, то есть 
Отсюда 
где 
и 
Заметим, что числа p и q взаимно просты. Действительно, если число r делит p и q, то оно делит
Но p не крат но 3, откуда 
Докажем, что число p есть степень двойки только при 
Действительно, пусть 
Запишем
В правой части стоит произведение соседних четных чище, бо́льших 4. Поэтому хотя бы одно из них не делит ся на 4 и, значит, не является степенью 2.
Если мы получим
что нам подходит. Покажем, что при 
решений нет. Одно из чисел p и q делится на 13. Рассмотрим два случая.
1) Если p кратно 13. Тогда 
то есть 
Если 
то p делится на 7 и 13. При 
мы можем применить к p те же рассуждения, что к x. В обоих случаях p разложится на два взаимно простых множителя, не являющихся степенями двойки. Поэтому x имеет не менее трех различных простых нечетных делителей, что невозможно.
2) Если q кратно 13. Заметим, что p имеет нечетный делитель, а q нечетно и взаимно просто с p. Тогда q должно быть степенью 13, то есть 
при некотором натуральном s. Значит, остаток от деления q на 8 равен 5 при нечетном s и 1 при четном. С другой стороны, этот остаток должен быть таким же, как у 
то есть 3, что невозможно.
Ответ: 728.
Дано натуральное число 
где n — нечетное натуральное число. Известно, что x имеет ровно три различны простых делителя, один из которых равен 11. Hайдите x.
Поскольку число x четно, один из его простых делителей равен 2. Поэтому мы должны найти все x, имеющие ровно два нечетных простых делителя, один из которых равен 11. Делимость x на 11 равносильна тому, что n — нечетное кратное 5, то есть 
при некотором нечетном m. Отсюда по формуле для суммы геометрической прогрессии где 
и
Заметим, что p и q взаимно просты. Действительно, пусть число r делит p и q. Тогда
Выражения, стоящие в скобках в правой части, делятся на p и, тем более, на r. Поэтому r является делителем 5. Но остатки от деления степеней 7 на 5 равны 2, 4, 3, 1 и далее циклически повторяются. Значит, p не кратно 5 при нечетных m, откуда
Докажем, что число p есть степень двойки только при Действительно, пусть и 
Тогда 
и число 
кратно 16. Но это невозможно, поскольку остатки от деления 
на 16 принимают только значения 7 и 1.
Если мы получим
что нам подходит, Покажем, что при 
решений не будет. Рассмотрим два случая.
1) Когда p кратно 11. Тогда 
то есть 
Если то p делится на 11 и 191. При мы можем применить к p те же рассуждения, что к x. В обоих случаях p разложится на два взаимно простых множителя, не являющихся степенями двойки. Поэтому x имеет не менее трех различных простых нечетных делителей, что невозможно.
2) Когда q кратно 11. Заметим, что p имеет нечетный делитель, а q нечетно и взаимно просто с p. Тогда q должно быть степенью 11. Остаток от деления на 8 равен −1 ввиду нечетности m. Поэтому число q дает при делении на 8 остаток 5. Но остатки от деления 
на 8 принимают только значения 3 и 1; поэтому q не может быть степенью 11.
Ответ: 16 808.
Наверх