РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2339 Добавить в вариант

В треугольнике ABC углы A и B равны 45° и 30° соответственно, СM  — медиана. Окружности, вписанные в треугольники ACM и BCM касаются отрезка CM в точках D и E. Найдите площадь треугольника ABC, если длина отрезка DE равна $4 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

По свойству касательных к окружности имеем:

$\begingathered A G=A K=x, \quad C G=C D=y, \quad C E=C F=z, \quad B F=B H=u, D M= дробь: числитель: A B, знаменатель: 2 конец дроби минус A K= дробь: числитель: A B, знаменатель: 2 конец дроби минус x, \quad M E= дробь: числитель: A B, знаменатель: 2 конец дроби минус B H= дробь: числитель: A B, знаменатель: 2 конец дроби минус u. \endgathered$

Тогда $D E=z минус y,$ $D E=D M минус M E=u минус x .$ Следовательно,

$2 D E=z минус y плюс u минус x=C B минус A C.$

Пусть $C B=a$ и $A C=b.$ Тогда $a минус b=8 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка .$ По теореме синусов имеем

$дробь: числитель: a, знаменатель: синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: b, знаменатель: синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби ,$

или $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента a=2 b,$ то есть $a= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента b.$ Таким образом, $b=8$ и $a=8 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Площадь треугольника ABC находим по формуле

$S= дробь: числитель: a b синус 105 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$

тогда

$S= дробь: числитель: a b синус левая круглая скобка 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: a b левая круглая скобка синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: a b корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 8 конец дроби =16 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка .$ $S= дробь: числитель: a b синус левая круглая скобка 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: a b левая круглая скобка синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: a b корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 8 конец дроби =16 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка .$ $S= дробь: числитель: a b синус левая круглая скобка 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: a b левая круглая скобка синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: a b корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 8 конец дроби =16 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка .$

Ответ: $16 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 2339: 2372 Все

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности вписанные, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих, Методы геометрии. Теорема синусов

Спрятать решение · Помощь