сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a урав­не­ние x в кубе минус 11x в квад­ра­те плюс ax минус 8=0 имеет три раз­лич­ных дей­стви­тель­ных корня, об­ра­зу­ю­щих гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть па­ра­метр a под­хо­дит. Тогда у мно­го­чле­на x в кубе минус 11 x в квад­ра­те плюс a x минус 8=0 есть три раз­лич­ных корня x1, x2, x3. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Виета для мно­го­чле­на тре­тьей сте­пе­ни:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x_1 плюс x_2 плюс x_3=11, x_1 x_2 плюс x_2 x_3 плюс x_3 x_1=a, x_1 x_2 x_3=8. конец си­сте­мы .

По­сколь­ку x1, x2, x3, об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию (пусть имен­но в таком по­ряд­ке), то най­дут­ся такие b и q, что x_1=b,  x_2=b q, x_3=b q в квад­ра­те . Тогда из ра­вен­ства x_1 x_2 x_3=8, имеем b в кубе q в кубе =8, от­ку­да x_2=b q=2, x_1= дробь: чис­ли­тель: 2 , зна­ме­на­тель: q конец дроби ,  x_3=2 q.

Тогда

2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q конец дроби плюс 1 плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка =11, \qquad левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка

после пре­об­ра­зо­ва­ний 2 q в квад­ра­те минус 9 q плюс 2=0. Дис­кри­ми­нант этого вы­ра­же­ния равен D=9 в квад­ра­те минус 4 умно­жить на 2 умно­жить на 2 боль­ше 0, по­это­му такое q, а с ним и x1, x2, x3, най­дут­ся. Тогда

 a=x_1 x_2 плюс x_2 x_3 плюс x_3 x_1=x_1 x_2 x_3 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =
=8 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: q, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 q конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =4 левая круг­лая скоб­ка q плюс 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =2 умно­жить на 11=22 .

В пред­по­след­нем пе­ре­хо­де мы вос­поль­зо­ва­лись ра­вен­ством (*).

 

Ответ: толь­ко 22.

 

Ком­мен­та­рий.

Есте­ствен­но, q, x1, x2, x3 можно вы­чис­лить явно:

 q_1, 2= дробь: чис­ли­тель: 9 \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 65 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Вы­бе­рем q с «+» если вы­брать с «−», то x1 и x3 по­ме­ня­ют­ся ме­ста­ми, что не по­вли­я­ет на ответ): тогда

 x_1= дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 4, зна­ме­на­тель: 9 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 65 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 65 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x_2=2, x_3= дробь: чис­ли­тель: 9 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 65 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Можно было вы­чис­лить a, под­ста­вив по­лу­чен­ные числа в вы­ра­же­ние x_1 x_2 плюс x_2 x_3 плюс x_3 x_1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­нияБалл
Вер­ное ре­ше­ние без су­ще­ствен­ных не­до­че­тов+
В целом за­да­ча ре­ше­на, хотя и с не­до­че­та­ми+ −
За­да­ча не ре­ше­на, но есть за­мет­ное про­дви­же­ние− +
За­да­ча не ре­ше­на, за­мет­ных про­дви­же­ний нет
За­да­ча не ре­ша­лась0

Аналоги к заданию № 4555: 4577 Все