При каких значениях параметра a уравнение 
имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?
Решение. Пусть параметр a подходит. Тогда у многочлена есть три различных корня x1, x2, x3. Воспользуемся теоремой Виета для многочлена третьей степени:
Поскольку x1, x2, x3, образуют геометрическую прогрессию (пусть именно в таком порядке), то найдутся такие b и q, что 
Тогда из равенства 
имеем 
откуда 
Тогда
после преобразований 
Дискриминант этого выражения равен 
поэтому такое q, а с ним и x1, x2, x3, найдутся. Тогда
В предпоследнем переходе мы воспользовались равенством (*).
Ответ: только 42.
Комментарий.
Естественно, q, x1, x2, x3 можно вычислить явно:
Выберем q с «+» если выбрать с «−», то x1 и x3 поменяются местами, что не повлияет на ответ): тогда
Можно было вычислить a, подставив полученные числа в выражение 
Критерии проверки:| Критерии оценивания | Балл |
|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Ответ: только 42.
