РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 595 Добавить в вариант

Плоскость пересекаю ребре тетраэдра ABCD, выходящие из вершины C, и делает их в отношении 4 : 1 (не обязательно от вершины C). Так же эта плоскость пересекает прямые AB и BD в точках E и F. Найдите отношение площадей треугольников BEF и ABD.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим точки пересечения плоскости (назовём её α) с рёбрами CA, CB и CD за $A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ $B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ и $D в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ соответственно. Если

$C A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка : A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка A=C B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка : B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B,$

прямые $A B$ и $A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ параллельны, а значит, плоскость $альфа$ не пересекается с прямой AB. Аналогичные рассуждения проведём для прямой BD. Значит,

$C B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка : B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B не равно q C A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка : A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка A=C D в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка : D в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка D .$

Возможны два варианта. В первом случае

$C B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка : B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B=A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка A: A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C=4: 1 .$

По теореме Менелая получаем

$дробь: числитель: B E, знаменатель: E A конец дроби умножить на дробь: числитель: A A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C конец дроби умножить на дробь: числитель: C B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B конец дроби =1,$

откуда $дробь: числитель: B E, знаменатель: E A конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби .$ При этом точка E оказывается на луче $A B$ за точкой B, откуда $дробь: числитель: B E, знаменатель: A B конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби .$ Аналогично $дробь: числитель: B F, знаменатель: B D конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби$ и отношение площадей равно $1: 225$ (т. к. у искомых треугольников равны углы при вершине B).

Во втором случае

По теореме Менелая получаем

откуда $дробь: числитель: B E, знаменатель: E A конец дроби =16.$ При этом точка E оказывается на луче BA за точкой A, откуда $дробь: числитель: B E, знаменатель: A B конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 15 конец дроби .$ Аналогично $дробь: числитель: B F, знаменатель: B D конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 15 конец дроби$ и отношение площадей равно $256: 225$ (т. к. у искомых треугольников равны углы при вершине B).

Ответ: 1 : 225 или 256 : 225.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Разобраны оба случая, не объяснено, почему других нет — 3 балла.

Разобран один случай, не объяснено, почему других нет — 1,5 балла.

Разобран один случай, с обоснованием, из-за ошибки в котором потерян второй случай — 2 балла.

За несущественные арифметические ошибки, приведшие к искажению 1 ответа снимать 0,5 балла.

За арифметические ошибки, приведшие к искажению обоих ответов (в случае, если разбирались оба случая) снимать не менее — 1 балла.

Только ответ — 0 баллов.

Аналоги к заданию № 587: 595 Все

Открытая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Прямые и плоскости, Методы геометрии. Терема Чевы, Менелая, Ван-Обеля

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь