РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8020 Добавить в вариант

В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDS площадь основания совпадает с площадью боковой грани и равна 1. Точка M  — точка пересечения медиан грани CDS. Точка N лежит на прямой AM и $A N: N M=3: 4.$ Найдите сумму расстояний от точки N до всех граней пирамиды.

Спрятать решение

Решение.

Из условия задачи сторона основания пирамиды равна 1, апофема боковой грани  — 2. Тогда высота пирамиды

$h= корень из: начало аргумента: 4 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Объём пирамида ABCDS равен $V= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби .$

С другой стороны, объём пирамиды можно найти как сумму объёмов пяти пирамид, вершина которых  — точка N, а основания  — грани пирамиды ABCDS. Тогда

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка h_1 плюс h_2 плюс h_3 плюс h_4 плюс h_5 правая круглая скобка ,$

где h₁, h₂, h₃, h₄, h₅ расстояния от точки N до граней пирамиды ABCDS (или высоты маленьких пирамид). Приравнивая объёмы, получаем ответ. Заметим, что сумма расстояний не зависит от расположения точки внутри данной пирамиды.

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Если правильно найдена высота пирамиды, то 2 балла. Найдены правильно отдельно расстояния до граней — по 2 балла за каждое. За верное решение 12 баллов.

Аналоги к заданию № 8020: 8034 Все

Инженерная олимпиада Звезда, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Расстояние от точки до прямой, до плоскости, Методы геометрии. Метод площадей, метод объемов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь