сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия b_1, b_2, ..., b_3000, все члены ко­то­рой по­ло­жи­тель­ны, а их сумма равна S. Из­вест­но, что если все её члены с но­ме­ра­ми, крат­ны­ми 3 (т. е. b_3, b_6, . . . , b_3000 пра­вая круг­лая скоб­ка , уве­ли­чить в 50 раз, сумма S уве­ли­чит­ся в 10 раз. А как из­ме­нит­ся S, если все её члены, сто­я­щие на чётных ме­стах (т. е. b_2, b_4, ..., b_3000 пра­вая круг­лая скоб­ка , уве­ли­чить в 2 раза?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим зна­ме­на­тель гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии через q. Так как все её члены по­ло­жи­тель­ны, q боль­ше 0. Если q=1, то S=3000 b_1, а при уве­ли­че­нии чле­нов с но­ме­ра­ми, крат­ны­ми 3, в 50 раз по­лу­чим сумму

S плюс 49 левая круг­лая скоб­ка b_3 плюс b_6 плюс \ldots плюс b_3000 пра­вая круг­лая скоб­ка =S плюс 49 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 52 S, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Это про­ти­во­ре­чит усло­вию, сле­до­ва­тель­но, q не равно q 1, зна­чит, сумма пер­вых n чле­нов про­грес­сии может быть по­счи­та­на по фор­му­ле

S_n=b_1 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 минус q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 минус q конец дроби .

В част­но­сти,

S=b_1 дробь: чис­ли­тель: 1 минус q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3000 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 минус q конец дроби .

При уве­ли­че­нии чле­нов b_3, b_6, ... b_3000 в 50 раз по­лу­ча­ем сумму

S плюс 49 левая круг­лая скоб­ка b_3 плюс b_6 плюс \ldots плюс b_3000 пра­вая круг­лая скоб­ка =S плюс 49 b_3 дробь: чис­ли­тель: 1 минус левая круг­лая скоб­ка q в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1000 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 минус q в кубе конец дроби =
=S плюс 49 b_1 q в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 1 минус q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3000 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 минус q пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс q плюс q в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =S плюс дробь: чис­ли­тель: 49 q в квад­ра­те S, зна­ме­на­тель: 1 плюс q плюс q в квад­ра­те конец дроби ,

ко­то­рая равна 10S. От­сю­да

 дробь: чис­ли­тель: 49 q в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 1 плюс q плюс q в квад­ра­те конец дроби =9 рав­но­силь­но 40 q в квад­ра­те минус 9 q минус 9=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний q= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,q= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Нам под­хо­дит по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние q, т. е. q= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Если уве­ли­чить все члены про­грес­сии с чётными но­ме­ра­ми втрое, по­лу­ча­ем

S плюс левая круг­лая скоб­ка b_2 плюс b_4 плюс \ldots плюс b_3000 пра­вая круг­лая скоб­ка =S плюс b_2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 минус левая круг­лая скоб­ка q в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1500 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 минус q в квад­ра­те конец дроби =S плюс b_1 q дробь: чис­ли­тель: 1 минус q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3000 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 минус q пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =S плюс дробь: чис­ли­тель: q, зна­ме­на­тель: 1 плюс q конец дроби S= дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби S .

Зна­чит, сумма S воз­растёт в  дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби раз.

 

Ответ: уве­ли­чит­ся в дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби раз.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Ошиб­ка в фор­му­ле суммы чле­нов про­грес­сии — 0 бал­лов за за­да­чу.


Аналоги к заданию № 810: 817 Все