Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
пересекается с некоторой окружностью в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на параболе, задаваемой уравнением вида 
для некоторых чисел a, b, c. Поскольку точки пересечения окружности и и параболы 
Возьмём любое простое число p и докажем, что степень его вхождения в z делится на 3. Понятно, что из этого следует, что z является кубом целого числа.
равно k, если n делится на pk и не делится на pk+1 (будем считать, что 
). Сгруппируем слагаемые:
на 3. 
Тогда z2 делится на p6k+2, а степень p, на которую делится x3, делится на 3. Таким образом, два слагаемых в левой части и правая часть делятся на попарно разные степени p, так как остатки этих степеней по модулю 3 различны (так как 
и 
не делятся на p). Тогда равенство не может быть выполнено. В случае 
аналогично равенство не может быть выполнено. Значит, остаётся только случай, где 
Сумма в знаменателе содержит каждое из чисел 1, . . . , n по два раза, кроме двух чисел, которые в ней участвуют по одному разу. Тогда эта сумма меньше 
Отсюда:
Сторона BC правильного треугольника ABC разделена на 2016 равных частей точками A1, . . . , A2015, стороны AC и AB — точками B1, . . . , B2015 и C1, . . . , C2015. Треугольник AiBjCk называется красным, если содержит центр ABC, и синим иначе. Каких треугольников больше, красных или синих?
от общего числа, то мы докажем, что всего синих больше, чем красных.
(тогда на каждой стороне n точек, всего n3 треугольников; каждая сторона разделена на 6l равных частей). Тогда нам надо доказать, что из 
пар (Bj, Ck) более 
) удовлетворяет условию.
имеет вид:
в точках (0, 0) и (1/3, 1/3) должна быть одного знака, то есть отрицательна, то есть 
Таким образом, нам нужно показать, что строго внутри области с синей границей лежит не менее шестой части точек вида
синих точек. Внутри треугольника с вершинами (2/3, 2/3), (1, 1/2), (1, 2/3), исключая вершину и точки прямой 
остаётся 
точки. Суммарно получаем 
точки, что меньше 
однако ещё есть точки строго внутри жёлтых областей, которых нам достаточно найти ещё хотя бы 2 штуки. Или в одной области хотя бы две точки. Возьмём тогда в левой жёлтой области точки 
и 
(2016 делится на 24, так что эти точки нам подходят).
целых точек границы многоугольника. Тогда вычисление площади по формуле Пика даёт равенство
Квадратное уравнение имеет корни 
Но 2016 > 24 (поэтому 
), поэтому неравенство выполнено.На окружности с центром O расположим шестёрку точек P1, . . . , P6. Назовём шестёрку интересной, если 
и все углы ∠PiOPj целые в градусах. Назовём шестёрку скучной, если она переводится в себя отражением от точки O или поворотом вокруг O на 120°. Существуют ли интересные нескучные шестёрки точек на окружности?
Рассмотрим две различные точки P5 и P6, такие что ∠P0OP5 = ∠P0OP6 = 60°. Тогда 
отсюда 
Углы между соседними векторами 
для i = 1, . . . , 6 равны 12°, 72°, 120°.
кг, а общая масса соли в 5%-ом и 20%-ом растворах равна массе соли в 90 кг 7%-ого раствора: 
откуда 
и 
В детском саду каждому ребёнку выдали по три карточки, на каждой из которых написано либо «МА», либо «НЯ». Оказалось, что слово «МАМА» из своих карточек могут сложить 20 детей, слово «НЯНЯ» — 30 детей, а слово «МАНЯ» — 40 детей. У скольких детей все три карточки были одинаковы?
значит, искомое число равно 
детей.
откуда 
Значит, 
что и требовалось доказать.На плоскости дан отрезок АВ длины 1 и на нём произвольная точка М. На отрезках АМ и МВ как на сторонах построены квадраты AMCD и MBEF, лежащие по одну сторону от АВ. Пусть P и Q — точки пересечения диагоналей этих квадратов соответственно. Найдите геометрическое место середин отрезков PQ, когда точка М пробегает весь отрезок АВ.
Значит, расстояние от середины PQ до АВ равно 
Далее, если обозначит, длину АХ через 
то длина АY равна 
и расстояние от А до проекции середины PQ равно полусумме этих длин, то есть 
что находится в пределах от 
до 
Таким образом, мы доказали, что середина PQ всегда лежит на указанном в ответе отрезке ST. Заметим, что точки P и Q при этом перемещаются по катетам АК и ВК треугольника АКВ из ответа. 
известно, что все они — различные простые числа. Найти все значения, которые может принимать наименьшее из этих семи чисел.
Если два из них равны, а третье имеет противоположный знак, то на 3 будет будет делиться одно из чисел 
В обоих случаях одно из семи чисел делится на 3 и по предположению больше 3, что противоречит его простоте. Следовательно, минимальное из семи чисел в условии может быть равно только 3. Пример таких чисел: 
и 
второе эквивалентно 
Итого, 
Ввиду неотрицательности левой и правой частей уравнения можно возвести всё в квадрат, получив 
то есть 
При 
получим единственный ответ 
а при 
получим верное тождество 1 = 1, поэтому весь этот промежуток является решением.
Сначала шарики были разложены по нескольким белым и чёрным коробкам так, что в каждой белой было по 31 шарику, а в каждой чёрной — по 26 шариков. Затем принесли ещё три коробки и разложили шарики так, что в каждой белой коробке стало по 21 шарику, а в каждой чёрной — по 16 шариков. Можно ли принести ещё несколько коробок и разложить шарики так, чтобы в каждой белой коробке стало по 15 шариков, а в каждой чёрной — по 10 шариков?