На каждой из прямых 
и 
отмечено по 400 точек с ординатами 1, 2, 3, ..., 400. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 800 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
Решение. Есть две возможности.
1) Гипотенуза треугольника лежит на одной из прямых, а вершина прямого угла — на второй прямой. Пусть 
данный треугольник с прямым углом при вершине C, CH — его высота, опущенная на гипотенузу. Из пропорциональности отрезков прямоугольного треугольника получаем, что 
то есть 
Поскольку 
и 
целые числа, то возможны следующие случаи: 
и 
и 
В первом из этих случаев гипотенузу AB, равную 14, можно расположить 
способами (по 
способов расположения на каждой из двух данных прямых), при этом положение вершины C определяется однозначно.
Во втором и третьем случаях длина гипотенузы равна 50, и её можно расположить
Для каждого положения гипотенузы существует два способа размещения вершины 
получаем
способов.
2) Один из катетов треугольника (назовём его BC) перпендикулярен данным прямым, а второй катет (AC) лежит на одной из данных прямых. Тогда положение катета (BC) можно выбрать 400 способами. Для каждого варианта расположения катета BC вершину A можно расположить 798 способами (подходят все точки кроме уже выбранных B и C) — всего выходит
способов.
Итого получаем
способов.
Ответ: 321 372.
Критерии проверки:Доказано, какие три вида прямоугольных треугольников возможны — 2 балла.
Если получено не более двух видов треугольников или разобраны все три случая, но не обосновано отсутствие других возможностей, то этот пункт оценивается в 0 баллов.
Произведён подсчёт количества треугольников одного вида — 1 балл.
Произведён подсчёт количества треугольников двух видов — 2 балла.
Произведён подсчёт количества треугольников трёх видов — 4 балла.
Ошибка в 
при подсчёте количества треугольников — снять 1 балл от общей суммы.
Отсутствует умножение на два (т. е. считается, что гипотенуза и/или катет треугольника может лежать только на одной из двух данных прямых) — снять 2 балла от общей суммы.
Верный ответ в развёрнутой форме — баллы не снимаются.
Ответ: 321 372.
