РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1383 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности касающиеся

Точки A, B, C, D, E последовательно расположены на прямой, причём $AB=BC=DE=2,$ $CD=1.$ Окружности $\Omega$ и $\omega,$ касающиеся друг друга, таковы, что $\Omega$ проходит через точки D и E, а $\omega$ проходит через точки B и C. Найдите радиусы окружностей $\Omega$ и $\omega,$ если известно, что их центры и точка A лежат на одной прямой.

Решение.

Обозначим центры окружностей $\Omega$ и $\omega$ через O и Q соответственно. Опустим из точек O и Q перпендикуляры OH и QT на прямую AB, тогда точки H и T  — середины хорд DE и BC соответственно (диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам). Значит, $A T=3,$ $A H=6.$

Пусть $Q T=x.$ Тогда $Q H=2 x$ (так как $Q T$   — средняя линия треугольника AOH),

$r=Q B= корень из: начало аргумента: Q T в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс B T в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка ,$

$R=O D= корень из: начало аргумента: O H в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс D H в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 4 x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка .$

Выразим двумя способами отрезок OQ. С одной стороны, так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов, т. е. $O Q=R плюс r .$ С другой стороны, из прямоугольной трапеции HTQO получаем, что

$O Q в квадрате =T H в квадрате плюс левая круглая скобка Q T минус O H правая круглая скобка в квадрате =9 плюс x в квадрате .$

Значит,

$корень из: начало аргумента: 1 плюс x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 4 x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 9 правая круглая скобка ,$

откуда

$5 x в квадрате плюс 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 4 x в степени левая круглая скобка 4 конец аргумента плюс 5 x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка =x в квадрате плюс 9 равносильно 2 корень из: начало аргумента: 4 x в степени левая круглая скобка 4 конец аргумента плюс 5 x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка =7 минус 4 x в квадрате .$

При условии $7 минус 4 x в квадрате больше или равно 0$ последнее уравнение равносильно следующему:

$16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 20 x в квадрате плюс 4=49 минус 56 x в квадрате плюс 16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка равносильно x в квадрате = дробь: числитель: 45, знаменатель: 76 конец дроби .$

Тогда получаем, что $R= дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента конец дроби ,$ $r= дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: $R= дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента конец дроби ,$ $r= дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента конец дроби .$

Критерии проверки:

Найдено отношение расстояний от центров окружностей до прямой AB — 1 балл.

Найдено отношение радиусов окружностей — 4 балла.

Аналоги к заданию № 1376: 1383 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе