Найдите все значения параметра a, для каждого из которых найдётся число b такое, что система
имеет хотя бы одно решение (x; y).
Решение.
Второе уравнение системы может быть преобразовано к виду
следовательно, оно задаёт окружность радиуса 1 с центром При всевозможных эти окружности заметают полосу
Первое уравнение задаёт «уголок» с ветвями, направленными вправо, с вершиной в точке Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы «уголок», задаваемый первым уравнением, имел хотя бы одну общую точку с полосой а для этого нужно, чтобы абсцисса его вершины удовлетворяла неравенству то есть откуда
Построена полоса между двумя параллельными прямыми, представляющая собой объединение окружностей, задаваемых вторым уравнением при всевозможных действительных значениях параметра — 1 балл.
Задача обоснованно сведена к следующей «график функции, задаваемой первым уравнением, имеет хотя бы одну общую точку с этой плоскости» — 3 балла.
При всевозможных 
эти окружности заметают 
Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы «уголок», задаваемый первым уравнением, имел хотя бы одну общую точку с 
то есть 
