С числом, записанным на доске, разрешается делать следующую операцию: стирать две соседние цифры, сумма которых не превосходит 9, и записывать эту сумму на их место. Изначально было написано 300-значное число 12 251 225 ... 1225. С числом на доске проделывали указанную операцию до тех пор, пока это не стало невозможно. Какое наибольшее число могло оказаться на доске в результате?
Решение. Сумма цифр исходного числа
Сумма цифр конечного числа такая же.
Разобьём цифры конечного числа на пары: первую со второй, третью с четвёртой, и т. д. Последняя цифра может остаться без пары. В каждой паре сумма цифр не меньше десяти, откуда в числе не может быть больше 150 цифр. Поскольку 150-значные числа превосходят все числа с менышим количеством знаков, ответ в первую очередь стоит искать среди них.
Если в числе ровно 150 цифр, и сумма цифр в какой-то паре больше 10, то общая сумма цифр больше 750. Значит, в каждом 150-значном числе, которое может у нас получиться, сумма цифр в каждой паре ровно 10.
Обратите внимание: утверждение о том, что в каждом таком числе сумма соседних цифр равна 10 вообще говоря, неверно: может получиться, например, число 
в котором это условие нарушается.
В каждой паре нам необходимо максимизировать первую цифру и минимизировать вторую. Поскольку каждая пара цифр полу чается указанными в условии операциями из 1225, вторая цифра не менышее 5 и наибольший вариант для каждой пары это 55, откуда мы полу чаем ответ.
Ответ: 55...55 — 100-значное число.
Ответ: 55...55 — 100-значное число.
