РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 2256 Добавить в вариант

Сюжет 2

P — простое число. Числа от 1 до P(P − 1) нужно расставить в клетки таблицы P $\times$ (P − 1) (P строк и P − 1 столбец) так, чтобы у каждого числа остаток от деления на P был таким же, как и у суммы соседних с ним по стороне чисел.

2.1 Пусть в первой строке стоят по порядку числа от 1 до $P минус 1.$ Чему может быть равно P?

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что по первой строке однозначно определяются остатки остальных строк:

1	2	...	$P минус 1$
$P минус 1$	$P минус 2$	...	1
0	0	...	0
1	2	...	$P минус 1$
$P минус 1$	$P минус 2$	...	1
0	0	...	0

Далее будут повторяться первые три строки. Поскольку нулевых остатков должно быть ровно $P минус 1,$ то P не может быть больше 5. Нетрудно заметить, что среди $P меньше или равно 5$ подходит только $P=5.$

Ответ: $P=5.$

Аналоги к заданию № 2256: 2564 Все

Олимпиада Юношеской математической школы, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: числа. Остатки и сравнения

Спрятать решение · Помощь

Тип 21 № 2258 Добавить в вариант

2.2 Пусть P = 7, а каждое число во второй строке в три раза больше своего соседа из первой строки. Докажите, что числа в двух центральных клетках делятся на 7.

Решение · Помощь

x	5x	3x	3x	5x	x
3x	x	2x	2x	x	3x
x	5x	3x	3x	5x	x
0	0	0	0	0	0