сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сюжет 2

P — про­стое число. Числа от 1 до P(P − 1) нужно рас­ста­вить в клет­ки таб­ли­цы P \times (P − 1) (P строк и P − 1 стол­бец) так, чтобы у каж­до­го числа оста­ток от де­ле­ния на P был таким же, как и у суммы со­сед­них с ним по сто­ро­не чисел.

2.2 Пусть P = 7, а каж­дое число во вто­рой стро­ке в три раза боль­ше сво­е­го со­се­да из пер­вой стро­ки. До­ка­жи­те, что числа в двух цен­траль­ных клет­ках де­лят­ся на 7.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим число в углу за x. Тогда его сосед из вто­рой строч­ки 3x (здесь и далее по мо­ду­лю 7). Те­перь можно по­лу­чить со­се­да из пер­вой строч­ки: он равен  минус 2 x \equiv 5 x, а его сосед из вто­рой строч­ки 3 умно­жить на 5 x \equiv x. Далее из усло­вия на сумму мы по­лу­ча­ем оче­ред­ное число пер­вой стро­ки, из доп. усло­вия вто­ро­го пунк­та  — оче­ред­ное число вто­рой стро­ки. После за­пол­не­ния пер­вых двух строк осталь­ные стро­ки за­пол­ня­ет­ся од­но­знач­но:

 

x5x3x3x5xx
3xx2x2xx3x
x5x3x3x5xx
000000
1

2.1 Пусть в пер­вой стро­ке стоят по по­ряд­ку числа от 1 до P минус 1. Чему может быть равно P?


Аналоги к заданию № 2256: 2564 Все