РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 2258 Добавить в вариант

Сюжет 2

P — простое число. Числа от 1 до P(P − 1) нужно расставить в клетки таблицы P $\times$ (P − 1) (P строк и P − 1 столбец) так, чтобы у каждого числа остаток от деления на P был таким же, как и у суммы соседних с ним по стороне чисел.

2.2 Пусть P = 7, а каждое число во второй строке в три раза больше своего соседа из первой строки. Докажите, что числа в двух центральных клетках делятся на 7.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим число в углу за x. Тогда его сосед из второй строчки 3x (здесь и далее по модулю 7). Теперь можно получить соседа из первой строчки: он равен $минус 2 x \equiv 5 x,$ а его сосед из второй строчки $3 умножить на 5 x \equiv x.$ Далее из условия на сумму мы получаем очередное число первой строки, из доп. условия второго пункта  — очередное число второй строки. После заполнения первых двух строк остальные строки заполняется однозначно:

x	5x	3x	3x	5x	x
3x	x	2x	2x	x	3x
x	5x	3x	3x	5x	x
0	0	0	0	0	0

Олимпиада Юношеской математической школы, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Разное. Числовые таблицы

Спрятать решение · Помощь

Тип 21 № 2256 Добавить в вариант

2.1 Пусть в первой строке стоят по порядку числа от 1 до $P минус 1.$ Чему может быть равно P?

Аналоги к заданию № 2256: 2564 Все

Решение · Помощь

1	2	...	$P минус 1$
$P минус 1$	$P минус 2$	...	1
0	0	...	0
1	2	...	$P минус 1$
$P минус 1$	$P минус 2$	...	1
0	0	...	0