РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3879 Добавить в вариант

Найти сумму первых 10 элементов, встречающихся как среди членов арифметической прогрессии { 5, 8, 11, 13, ... }, так и среди членов геометрической прогрессии { 20, 40, 80, 160, ... }.

Спрятать решение

Решение.

Члены арифметической прогрессии {5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ...} задаются формулой

$a_n=5 плюс 3 n, \quad n=0, 1, 2, ...$

Члены геометрической прогрессии {20, 40, 80, 160, ...} задаются формулой

$b_n=20 умножить на 2 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка , \quad k=0, 1, 2, \ldots$

Для общих элементов должно выполняться равенство $5 плюс 3 n=20 умножить на 2 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка ,$ откуда

$n= дробь: числитель: 20 умножить на 2 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка минус 5, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 5 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка k плюс 2 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби ,$

то есть $левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка k плюс 2 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \vdots 3 .$ Ясно, что $2 в степени левая круглая скобка k плюс 2 правая круглая скобка минус 1$ кратно 3 при четных k (остаток от деления $2 в степени левая круглая скобка k плюс 2 правая круглая скобка$ на 3 равен 1 или 2). Тогда

1)  при $k=0$ и $n=5$ общий элемент $a_5=b_0=20;$

2)  при $k=2$ и $n=25$ общий элемент $a_25=b_2=80;$

3)  при $k=4$ и $n=105$ общий элемент $a_105=b_4=320$ и т. д.

Таким образом, искомые элементы: 20, 80, 320, ...  — члены исходной геометрической прогрессии с четными номерами. Они образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 4 и первым членом 20. Сумма 10 первых членов может быть найдена по формуле

$S=c_1 дробь: числитель: q в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 1, знаменатель: q минус 1 конец дроби =20 умножить на дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 4 минус 1 конец дроби =20 умножить на дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате минус 1, знаменатель: 3 конец дроби =20 умножить на дробь: числитель: 1024 в квадрате минус 1, знаменатель: 3 конец дроби =6 990 500.$ $S=c_1 дробь: числитель: q в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 1, знаменатель: q минус 1 конец дроби =20 умножить на дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 4 минус 1 конец дроби =$
$=20 умножить на дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате минус 1, знаменатель: 3 конец дроби =20 умножить на дробь: числитель: 1024 в квадрате минус 1, знаменатель: 3 конец дроби =6 990 500.$

Ответ: 6 990 500.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Верный ответ получен, но обоснование не приведено или имеет грубые ошибки — 1−3 балла.

Решение приведено, но имеет пробелы, неточности или арифметические ошибки — 4−8 баллов.

Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ — 9−10 баллов.

Аналоги к заданию № 3811: 3873 3879 3932 Все

Олимпиада Гранит науки, 11, 9, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь