Двой­ка мень­ше трой­ки, по­это­му и сле­до­ва­тель­но, С дру­гой сто­ро­ны, и сле­до­ва­тель­но, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ответ: боль­ше, чем

Обо­зна­чим

Тогда имеем:

Ответ: пер­вое число боль­ше.

Обо­зна­чим

Поль­зу­ясь фор­му­лой для суммы чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, на­хо­дим:

Обо­зна­чим Оце­ним раз­ность:

Здесь Опре­де­лим знак С. Уве­ли­чим вы­чи­та­е­мое, за­ме­нив на

Знак по­след­не­го вы­ра­же­ния, оче­вид­но, сов­па­да­ет со зна­ком раз­но­сти За­ме­тим, что Сле­до­ва­тель­но,

Далее, так как Сле­до­ва­тель­но, раз­ность а вме­сте с ней и С по­ло­жи­тель­ны. Сле­до­ва­тель­но, пер­вое число боль­ше вто­ро­го.

Ответ: Пер­вое число боль­ше вто­ро­го.

За­ме­тим, что по­это­му, за­ме­нив по­след­ний по­ка­за­тель сте­пе­ни чис­лом 2019, по­лу­чим боль­шее число:

Ответ: 2019.

Пе­ре­пи­шем вто­рую сумму как

У неё оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство сла­га­е­мых с пер­вой сум­мой, причём сред­нее сла­га­е­мое общее. Срав­ним пары сла­га­е­мых:

Пер­вая пара сла­га­е­мых оче­вид­но боль­ше, зна­чит, пер­вая сумма боль­ше.

Ответ: Пер­вая сумма боль­ше.

Пе­ре­пи­шем вто­рую сумму как

У неё оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство сла­га­е­мых с пер­вой сум­мой, причём сред­нее сла­га­е­мое общее. Срав­ним пары сла­га­е­мых:

Пер­вая пара сла­га­е­мых оче­вид­но боль­ше, зна­чит, пер­вая сумма мень­ше.

Ответ: Пер­вая сумма боль­ше.

Пусть A  — вто­рое из дан­ных чисел. Умень­шим все зна­ме­на­те­ли числа A на 3, по­лу­чен­ное число B будет боль­ше, чем A:

Рас­смот­рим зна­мен атели дро­бей числа B. За­ме­тим, что Сле­ду­ю­щий зна­ме­на­тель равен Сле­ду­ю­щий равен

и т. д. По­след­ний зна­ме­на­тель будет равен Зна­чит,

Таким об­ра­зом,

Ответ: пер­вое.

Пред­ста­вим дроби в виде:

Тогда:

Ответ:

Пред­ста­вим дроби в виде:

Тогда имеем:

Ответ:

Срав­ним числа:

Ответ:

Пусть A  — пер­вое число, B  — вто­рое. Тогда

По­сколь­ку

и

число A мень­ше, чем

Ответ: вто­рое.

Так как то, раз­де­лив обе части дан­но­го не­ра­вен­ства на его пра­вую часть, мы можем пе­ре­пи­сать его в виде

или где

Для удоб­ства диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния этой функ­ции по­ло­жим: и

Тогда

и

Сле­до­ва­тель­но,   — убы­ва­ю­щая функ­ция и на про­ме­жут­ке при то есть воз­рас­та­ет а f(x) воз­рас­та­ет на

B част­но­сти, то есть ис­ход­ное не­ра­вен­ство не­вер­но.

Ответ: нет, не­вер­но.

По­сколь­ку а

тре­бу­ет­ся срав­нить числа и где Вы­ра­же­ние

в точке при­ни­ма­ет по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние, по­это­му пер­вое число боль­ше.

Ответ: пер­вое.

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное число:

Сле­до­ва­тель­но:

Ответ:

Пред­ста­вим под­ко­рен­ные вы­ра­же­ния в виде:

За­ме­тим, что а зна­чит сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Пред­ста­вим под­ко­рен­ные вы­ра­же­ния в виде:

За­ме­тим, что а зна­чит сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Най­дем раз­ность

Так как то то есть

Ответ:

Най­дем раз­ность

Так как то то есть

Ответ:

Рас­смот­рим ис­ко­мое срав­не­ние Умно­жим его на ра­вен­ство (левую часть на левую, пра­вую на пра­вую). При умно­же­нии на по­ло­жи­тель­ное число (а по­ло­жи­тель­но) не­ра­вен­ство со­хра­нит­ся. По­лу­ча­ем От­сю­да ясно, что левая часть боль­ше пра­вой.

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Рас­смот­рим ис­ко­мое срав­не­ние При­ба­вим к нему ра­вен­ство сведя к срав­не­нию Пе­ре­не­ся все в левую часть, можно за­ме­тить, что оно рав­но­силь­но Чтобы убе­дить­ся в том, что левая часть боль­ше, оста­лось по­ка­зать, что

Дей­стви­тель­но, пред­по­ло­жим, что Под­ста­нов­ка в ис­ход­ное ра­вен­ство дает про­ти­во­ре­чие.

При­ведём еще одно ре­ше­ние.

До­мно­жив ра­вен­ство на b, по­лу­чим от­ку­да Тогда до­ста­точ­но срав­нить и то есть срав­нить b с 1. Пред­по­ло­жим, что Тогда про­ти­во­ре­чие. Зна­чит, от­ку­да

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

Ответ: сумма дро­бей боль­ше.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

За­ме­тим, что