До­пу­сти­мые зна­че­ния пе­ре­мен­ной x опре­де­ля­ют­ся си­сте­мой

Этой си­сте­ме на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти xOa со­от­вет­ству­ет мно­же­ство точек, ле­жа­щих ниже пря­мой пра­вее оси a и не вклю­ча­ю­щее пря­мую По­стро­им те­перь гра­фик функ­ции Этим гра­фи­ком часть плос­ко­сти, со­от­вет­ству­ю­щая об­ла­сти до­пу­сти­мых зна­че­ний, раз­би­ва­ет­ся на че­ты­ре об­ла­сти D₁, D₂, D₃ и D₄ (см. рис.).

В каж­дой из этих об­ла­стей про­из­воль­но вы­бе­рем по одной точке, на­при­мер,

Под­став­ляя те­перь вы­бран­ные зна­че­ния (x; a) в ис­ход­ное не­ра­вен­ство, по­лу­ча­ем со­от­вет­ству­ю­щие не­ра­вен­ства:

Пер­вое и тре­тье не­ра­вен­ства ис­тин­ны, а вто­рое и чет­вер­тое  — ложны. Со­от­вет­ствен­но, ис­ход­ное не­ра­вен­ство ис­тин­но толь­ко в об­ла­стях D₁ и D₃.

Мно­же­ство точек на плос­ко­сти x п с фик­си­ро­ван­ным а об­ра­зу­ет го­ри­зон­таль­ную пря­мую. Ре­ше­ние же ис­ход­но­го не­ра­вен­ства будут абс­цис­сы тех точек, ко­то­рые при­над­ле­жат пе­ре­се­че­нию этой пря­мой с за­штри­хо­ван­ны­ми об­ла­стя­ми.

А тогда, если x₁ и x₂  — корни урав­не­ния (опре­де­ля­е­мое фор­му­ла­ми то, из­ме­няя зна­че­ние а от до не­по­сред­ствен­но из ри­сун­ка вы­пи­сы­ва­ем ответ.

Ответ:

— если то

— если то

— то

— то

— то

Пе­ре­пи­сав не­ра­вен­ство, по­лу­ча­ем: Если то ре­ше­ний нет. Если то Если то

Ответ:

Не­ра­вен­ство рав­но­силь­но та­ко­му

1)  Если то по­лу­ча­ем не­ра­вен­ство удо­вле­тво­ря­ю­щее тре­бо­ва­нию за­да­чи, когда от­сю­да

2)  Если же то по­лу­ча­ем не­ра­вен­ство удо­вле­тво­ря­ю­щее тре­бо­ва­нию за­да­чи, когда

Ответ:

Сде­ла­ем за­ме­ну пе­ре­мен­ных: и Урав­не­ние можно пре­об­ра­зо­вать к виду:

Те­перь вве­дем пе­ре­мен­ную t: Тогда пра­вая часть урав­не­ния может выть пре­об­ра­зо­ва­на к виду:

Функ­ция g(t) при от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та от­ри­ца­тель­на, а при по­ло­жи­тель­ных ее можно пред­ста­вить в виде:

из ко­то­ро­го ясно, что функ­ция при­ни­ма­ет мак­си­маль­ное зна­че­ние, когда зна­ме­на­тель по­ло­жи­те­лен и ми­ни­ма­лен. Это про­изой­дет при то есть при При этом мак­си­маль­ное зна­че­ние пра­вой части урав­не­ния будет равно 3. Левая часть урав­не­ния

все­гда боль­ше или равна 3 и до­сти­га­ет ми­ни­маль­но­го зна­че­ния при От­сю­да можно найти зна­че­ния пе­ре­мен­ной x:

ко­то­рые пре­тен­ду­ют на то, чтобы быть кор­ня­ми ис­ход­но­го урав­не­ния. Зна­че­ния пе­ре­мен­ной x у левой и пра­вой части долж­ны сов­па­дать, по­это­му ре­ше­ния будут при таких зна­че­ни­ях n, при ко­то­рых вы­пол­нит­ся хотя бы одно из усло­вий:

или

В обоих слу­ча­ях по­лу­ча­ют­ся ли­ней­ные ди­о­фан­то­вы урав­не­ния, ко­то­рые ре­ша­ют­ся пред­став­ле­ни­ем k через клас­сы де­ли­мо­сти на 7 с остат­ком Пер­вое из этих урав­не­ний от­но­си­тель­но пе­ре­мен­ной n сво­дит­ся к урав­не­нию ко­то­рое на за­дан­ном про­ме­жут­ке на­ту­раль­ных чисел имеет един­ствен­ное ре­ше­ние Вто­рое урав­не­ние сво­дит­ся к урав­не­нию: ко­то­рое имеет един­ствен­ное ре­ше­ние

Ответ: {6, 9}.

Пре­об­ра­зо­ва­ние:

За­ме­на при­во­дит к ку­би­че­ско­му урав­не­нию

име­ю­ще­му три корня Им со­от­вет­ству­ют три ре­ше­ния: На ин­тер­ва­ле спра­вед­ли­во не­ра­вен­ства вы­пол­не­но не­ра­вен­ство

Ответ:

Пусть тогда урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

3аме­тим, что

от­ку­да по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, корни этого урав­не­ния  — 3 и Де­ла­ем об­рат­ную за­ме­ну: или то есть или или По­лу­ча­ем два слу­чая: или В пер­вом слу­чае во вто­ром  —

Ответ: −2,2.

Пусть тогда урав­не­ние при­ни­ма­ет вид 3аме­тим, что

от­ку­да по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, корни этого урав­не­ния: −1 и Де­ла­ем об­рат­ную за­ме­ну: или то есть или или По­лу­ча­ем два слу­чая: или В пер­вом слу­чае во вто­ром  —

Ответ: 7, 5.

До­пу­сти­мые зна­че­ния пе­ре­мен­ной x за­да­ют­ся си­сте­мой:

Пе­ре­пи­шем ис­ход­ное не­ра­вен­ство в виде

и пред­по­ло­жим, что Тогда не­ра­вен­ство (2) рав­но­силь­но не­ра­вен­ству и, таким об­ра­зом, с уче­том пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы (1) при­хо­дим к си­сте­ме

ко­то­рая в силу вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы (1) рав­но­силь­на од­но­му не­ра­вен­ству ре­ше­ни­я­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся все x такие, что где   — корни урав­не­ния

Пусть Тогда не­ра­вен­ство (2) рав­но­силь­но не­ра­вен­ству C уче­том пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы (1) имеем си­сте­му

На­чер­тим на плос­ко­сти xOa гра­фи­ки функ­ций и пря­мую Парам (x, a), удо­вле­тво­ря­ю­щим по­след­ней си­сте­ме, со­от­вет­ству­ют точки за­штри­хо­ван­ной об­ла­сти.

Обо­зна­чая через x₃, x₄ корни урав­не­ния ко­то­рые вы­чис­ля­ют­ся по фор­му­лам на ос­но­ва­нии по­лу­чен­ных ранее ре­зуль­та­тов и не­по­сред­ствен­но из ри­сун­ка при­хо­дим к вы­во­ду, что ре­ше­ни­я­ми ис­ход­но­го не­ра­вен­ства будут абс­цис­сы x тех точек, ко­то­рые при­над­ле­жат пе­ре­се­че­нию пря­мой и за­штри­хо­ван­ной об­ла­сти. На ос­но­ва­нии этого вы­пи­сы­ва­ем ответ.

Ответ:

— если и то ре­ше­ний нет;

— если то

— если то и

— если то

— где