Найдите все натуральные числа x такие, что произведение всех цифр в десятичной записи x равно
Решение.
Во-первых, произведение всех цифр натурального числа неотрицательно, поэтому откуда то есть Во-вторых, если в произведении всех цифр натурального числа заменить все цифры, кроме первой, на десятки, то произведение не уменьшится, но будет не больше самого числа, поэтому произведение всех цифр числа не превосходит самого числа, значит, откуда, то есть Для условие, очевидно, выполнено, следовательно, это единственный ответ.
Ответ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Верное решение.
7
Доказательство того, что произведение всех цифр числа не превосходит самого числа.
3
Правильный ответ без обоснования с проверкой.
1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.
Переведем периодические дроби в обыкновенные:
Подставим их в уравнение, получим
Ответ: –3,5; 1.
Критерии проверки:
Баллы
Критерии оценивания
0
Решение задачи неправильное и не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена, или задача не решалась, или приведен верный ответ без обоснования
1–2
Найдена основная идея решения, но решение не доведено до конца или содержит грубые ошибки
3
Найдена основная идея решения, но решение содержит некоторые пробелы или неточности или допущены ошибки в вычислениях, которые привели к неверному ответу
4
Задача решена в целом правильно и получен верный ответ, но есть мелкие замечания к решению (в решении допускаются незначительные неточности; имеются недостатки, которые легко устраняются)
5
Приведено полное решение и получен верный ответ
}.
откуда 
то есть 
Во-вторых, если в произведении всех цифр натурального числа заменить все цифры, кроме первой, на десятки, то произведение не уменьшится, но будет не больше самого числа, поэтому произведение всех цифр числа не превосходит самого числа, значит, 
откуда, 
то есть 
Для 
условие, очевидно, выполнено, следовательно, это единственный ответ.
уравнение не имеет корней.
если x1 и x2 — корни уравнения 
и 
отсюда
Пусть а — его наименьший корень. Найдите 
у которого b — наименьший корень, найдите 
—
и 
получим 
а при 
имеем 
В п. a) легко и непосредственно получить результат.
на промежутке 
Найти все решения уравнения: 
возрастает на промежутке 
достигает максимума 
при 
и убывает на промежутке 
Поэтому 
получаем уравнение 
второй из которых посторонний. На промежутке 
получаем уравнение 
x = 1, лежащие в рассматриваемом промежутке. Объединяя, получаем ответ: 
в этом случае посторонний — минус 1 балл.
Найдите 
Возводя в квадрат, получим 
Умножив на x, получим 
Подставляя вместо x корни уравнения, получим: 
и 
Подставив, получим 
