Всего: 44 1–20 | 21–40 | 41–44
Добавить в вариант
Три действительных числа таковы, что модуль каждого из них не меньше модуля суммы двух остальных. Докажите, что сумма всех трёх этих чисел равна нулю.
Обозначим числа в условии за 
по условию, 
Если 
то первое неравенство возможно лишь при 
и в этом случае их сумма равна нулю. Если 
то из второго неравенства следует 
и снова сумма всех чисел равна 0. Умножая числа на −1, если нужно, дальше можем считать 
Тогда 
откуда 
и 
откуда 
и 
Из второго неравенства условия теперь получаем 
и 
Следовательно, 
что и требовалось доказать.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
Не рассмотрен случай  | 6 |
Не рассмотрен случай  | 6 |
Нет правильного сведения к случаю  и не рассмотрен симметричный случай  | 6 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
а) Найдите все такие значения a и b, что система неравенств
имеет единственное решение.
б) Докажите, что кривая
делит единичную окружность на восемь равных дуг.
в) Докажите, что при любом натуральном k уравнение 
разрешимо в целых числах.
а) Изобразим на плоскости множества, заданные неравенствами
и 
(замена 
). Ясно (см. рис.), что они имеют единственную общую точку лишь при 
Ответ: 
и b — любое.
б) Перейдя к полярным координатам 
и 
после несложных преобразований получим уравнение 
поэтому данная кривая состоит из восьми проходящих через начало координат прямых. Угол между соседними прямыми равен 
в) Пусть 
тогда числа 
и 
целые.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и b — любое.а) Сколько решений в зависимости от a имеет уравнение
б) Докажите, что при любом натуральном n число 
делится на 
в) Докажите неравенство
где в числителе дроби 1994 квадратных корня, в знаменателе — 1993.
а) Действительно, функция 
убывает на луче 
возрастает на 
и
при любом 
Ответ: два решения при 
бесконечно много при 
и ни одного при 
б) Имеем:
поскольку единица является его корнем.Заметим, что данный многочлен имеет вид 
где 
и вообще утверждение задачи имеет следующее обобщение: если 
— многочлен, то 
делится на 
в) Положим 
(1993 квадратных корней). Далее,
поэтому исходное неравенство равносильно 
или 
что верно. Полезно также отметить, что данная дробь равна
что, очевидно, больше 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
бесконечно много при и ни одного при а) Решите систему 
б) Существует ли многочлен 
имеющий девять различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
в) Докажите неравенство 
а) Неравенство приводится к виду 
где 
поскольку 
Из первого уравнения получаем 
или 
Разберем два случая.
Если 
то 
или 
где 
При получим 
и второе уравнение примет вид 
т. е. 
или 
При 
получим 
и второе уравнение примет вид 
или 
Если 
то 
или 
При получим 
и второе уравнение примет вид 
где 
При 
получим 
и второе уравнение примет вид 
где 
Ответ: 
б) Действительно, положим 
Ясно, что если корни xi достаточно малы, то и коэффициенты многочлена 
малы. Можно написать явные оценки, но лучше провести следующее рассуждение.
Пусть
Коэффициенты этого многочлена имеют вид 
Поскольку 
при 
то найдется такое натуральное число n, что 
i = 1, 2, ..., 9.
Ответ: Да, существует.
в) Обозначим 
Тогда неравенство можно записать в виде
Что верно, поскольку 
поэтому 
и 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Да, существует.а) Решите систему 
б) Существует ли многочлен 
имеющий восемь различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
в) Докажите неравенство 
а) Из первого уравнения получаем или 
Разберем два случая.
Если то или При получим и второе уравнение примет вид 
отсюда 
При получим и второе уравнение примет вид 
т. е. 
Если 
то можно поменять мысленно местами x и y и получить предыдущий случай.
Ответ: 
б) Да, существует. Рассмотрим многочлен
Пусть 
и 
Рассмотрим тогда многочлен
Этот многочлен имеет корни 
и его коэффициенты не превосходят 
в) Обозначим 
Тогда неравенство можно записать в виде
Что верно, поскольку 
поэтому 
и
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Верно ли неравенство
Рассмотрим величину
Ясно, что 
Возводя неравенство 
в квадрат, получаем
или, что то же
Несложно проверить, что 
Поэтому из неравенства 
следует неравенство для любого номера n.
Остается проверить, что 
Это неравенство верно. Теперь переходя от неравенства для 
к неравенству 
Ответ: да, верно.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Докажите неравенство 
Воспользуемся известным неравенством
основанным на 
неравенстве Коши: 
для любых положительных чисел xi, xj 
Поэтому:
Приведём другое решение.
Поделим обе части неравенства на 
:
для каждого корня воспользуемся неравенством Коши 
:
| Условия выставления | Баллы |
|---|---|
| Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи | 15 |
| Верно начато решение задачи, получены некоторые промежуточные результаты, дальнейшее решение неверно или отсутствует. Например, не проведена индукция | 6 |
| Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям | 0 |
Доказать неравенство 
Рассмотрим подкоренное выражение
Подставим в выражение:
Так как выражения в числителе и в знаменателе больше нуля, то неравенство справедливо, ч. т. д.
,
Доказать неравенство 
Рассмотрим подкоренное выражение
Подставим в выражение:
Так как выражения в числителе и в знаменателе больше нуля, то неравенство справедливо, ч. т. д.
Пусть p и q — взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0, каждый раз либо на p вправо, либо на q влево. Однажды лягушка вернулась в 0. Докажите, что для любого натурального 
найдутся два числа, посещенные лягушкой и отличающиеся на d.
Пусть в момент времени k лягушка находится в точке ak, 
Продолжим последовательность (ai) периодически по правилу 
Обозначим 
Заметим, что 
поэтому 
для любого n.
Так как p и q взаимно простые, то p и A взаимно простые. Докажем, что найдется такое целое s, что 
В самом деле, числа 0, p, 
дают различные остатки при делении на A (иначе для некоторых 
получаем, что 
чего не может быть, так как 
не делится на A, а p взаимно просто с A). А значит, среди этих остатков есть и d.
Обозначим 
Легко видеть, что все 
дают остаток d от деления на A.
Если ak — самая левая из точек, посещенных лягушкой, то 
Если ak — самая правая точка, то 
Значит, при некотором i в последовательности ri происходит перемена знака, 
и 
Тогда 
потому что
А так как 
то 
что и требовалось.
Приведем другое решение.
Предположим, что для какого-то 
такие точки не найдутся.
Лемма. Найдутся такие целые a и b, что 
Доказательство леммы. Рассмотрим числа ар–d при 
Если хотя бы одно из них делится на q, то есть имеет вид bq, то мы получаем 
что и требуется. В ином случае какие-то два их этих чисел дают одинаковый остаток от деления на q (так как их всего ровно q и остатка 0 там нет). Тогда
откуда 
Тогда, так как p и q взаимно просты, a1–a2 кратно q; но в диапазоне от 2 до 
все числа отличаются менее чем на q, то есть этот случай невозможен. Лемма доказана.
Мы можем увеличить a на q, а b на p — соотношение 
при этом не нарушится. Будем делать так до тех пор, пока не добьемся 
Пусть лягушка вернулась в 0, сделав n шагов вправо и m шагов влево. Тогда 
а значит, 
Будем считать, что лягушка пропрыгивает эту последовательность 
ходов бесконечное число раз по циклу; ясно, что точки она при этом будет посещать те же.
Возьмем 
Расставим по кругу буквы, описывающие 
подряд идущих ходов лягушки. Будем выписывать их по часовой стрелке, по одной букве на ход; если это ход вправо, напишем букву «П», а если ход влево — «Л». Всего мы расставили по кругу nk букв «П» и mk букв «Л».
Пусть мы найдем отрезок из 
подряд идущих букв, среди которых ровно a раз встречается «П» (и ровно b раз «Л»). Тогда эти буквы соответствуют последовательным ходам, за которые лягушка сдвинулась ровно на ap
Противоречие. Значит, ни на каком таком отрезке буква «П» не может встречаться a раз.
Рассмотрим какой-то отрезок из подряд идущих букв. Пусть буква «П» встречается на нем не более чем 
раз. Посмотрим на отрезок из букв, отличающийся от предыдущего сдвигом на 1 по часовой стрелке, то есть получившийся выкидыванием одной буквы и добавлением другой. Заметим, что на новом отрезке буква «П» встречается не более чем 
раз, а так как ровно a быть не может, то тоже не более чем раз. Повторив эти рассуждения, получим, что на любом отрезке такой длины буква «П». встречается не более чем раз. Мы можем рассмотреть среднее количество букв «П». во всех наборах подряд идущих букв и сделать вывод, что доля букв «П» во всем круге не более 
Значит, отношение количества букв «П» к количеству букв «Л» во всем круге не превосходит 
Аналогично, если на каком-то отрезке из подряд идущих букв буква «П» встречается не менее чем 
раз, то отношение количества букв «П» во всем круге к количеству букв «Л» не менее 
Следовательно, либо 
либо 
При этом 
Чтобы прийти к противоречию, нам достаточно показать, что
Левое неравенство эквивалентно 
что следует из 
Правое неравенство аналогично эквивалентно 
что следует из 
Мы пришли к противоречию, значит, точки на расстоянии d найдутся.
Приведем еще одно решение.
Как и в предыдущем решении, будем считать, что лягушка прыгает в бесконечном цикле. Также воспользуемся представлением для положительных a и b, сумму обозначив за r.
За δi обозначим разность между положениями лягушки в момент 
(то есть через шагов после начала) и в момент i. Так как их разделяет r шагов, то
Если δi равно d, то мы нашли искомые позиции. Предположим противное: пусть 
для всех i. Тогда все числа δi имеют вид 
для целых 
Заметим, что разность между δi и 
определяется тем, какими были 
-й
-й
0 или 
Это означает, что числа δi либо все меньше 0 (имеют вид 
для натурального k), либо все больше 0 (имеют вид для натурального k).
Тогда рассмотрим позицию лягушки через rT шагов, где T — количество шагов в ее цикле. С одной стороны, она равна сумме
которая по доказанному выше должна быть либо отрицательной, либо положительной. С другой стороны, через rT шагов лягушка вернется на позицию 0. Противоречие.
Найдите значение функции f(x) в точке 
если 
и для любого x выполняется равенство
В уравнение 
будем подставлять вместо x числа 
Получим:
.
.
.
Складывая равенства получим:
Тогда 
Ответ: 999 001.
Найдите значение функции f(x) в точке 
если 
и для любого x выполняется равенство
В уравнение
будем подставлять вместо x числа 
Получим:
.
.
.
Складывая равенства получим:
Тогда 
Ответ: 6 748 501.
Найдите значение функции f(x) в точке 
если и для любого x выполняется равенство
В уравнение
будем подставлять вместо x числа Получим:
.
.
.
Складывая равенства получим:
Тогда
Ответ: 6 748 501.
Найдите значение функции f(x) в точке 
если и для любого x выполняется равенство
Решение: 
уравнение будем подставлять вместо x числа 
Получим:
.
.
.
Скалывая равенства получим:
Складывая равенства получим:
Тогда 
Ответ: 11 998 001.
Найдите значение функции f(x) в точке 
если и для любого x выполняется равенство
В уравнение 
будем подставлять вместо x числа 
Получим:
.
.
.
Складывая равенства получим:
Тогда 
Ответ: 750 001.
Доказать неравенство 
Перепишем неравенство в виде
Справедливо неравенство:
Так как
то
Что требовалось доказать.
Доказать неравенство 
Перепишем неравенство в виде
Справедливо неравенство:
Так как
то
Что требовалось доказать.
Найдите значение функции f(x) в точке если и для любого x выполняется равенство
В уравнение 
будем подставлять вместо x числа 
Получим:
.
.
.
Складывая равенства получим:
Тогда 
Ответ: 3 000 001.
Найдите значение функции f(x) в точке 
если и для любого x выполняется равенство
В уравнение
будем подставлять вместо x числа 
Получим:
.
.
.
Складывая равенства получим:
Складывая равенства получим:
Тогда 
Ответ: 6 750 001.
Для действительного числа 
рассмотрим возрастающую последовательность всех натуральных чисел mi, для которых 
Может ли для какого-то α соответствующая последовательность начинаться с
а) 2021, 4041, 6062?
б) 2021, 4042, 6062, 8082?
Немного рассуждений, избыточных для решения этой задачи Покажем индукцией по i, что mi — это наименьшее натуральное число ni, для которого 
База: для удобства будем считать 0 натуральным числом, и все последовательности тоже начинать с нулевого члена. Тогда, во-первых, 
поскольку 
и 0 — первое натуральное число с таким свойством, поскольку оно просто первое. С другой стороны, 
поскольку 
и опять же, 0 — первое натуральное число с этим свойством. Итак, 
Переход. Пусть 
Тогда для всех натуральных чисел k из отрезка 
имеем 
из определения 
Но тогда 
С другой стороны,
то есть 
Итак, 
Пункт а). Из приведенных выше рассуждений следует система неравенств (самая левая)
Преобразуем как написано выше, благо все числа положительны. Имеем, что условие выполняется для любого 
такого что 
лежит в полуинтервале 
Отметим, что для решения задачи не обязательно описывать множество всех таких 
(как сделано выше), достаточно указать одно, например, 
и доказать, что оно подходит.
Пункт б). Действуя аналогично, имеем:
Приходим к противоречию, что 
что доказывает что такого не существует.
Ответ: а) да; б) нет.
A0. Ответы без доказательства: 0.
A1. В а) верно указан промежуток, которому должно принадлежать α: 2 балла.
A2. Без доказательства выписаны начальные системы неравенств из вышеприведенного решения: 3 балла в а), 4 балла в б). (баллы за A2 включает A1 а не складываются с ними).
A9. Множественная путаница знаков (в другую сторону или строгие/нестрогие), не приведшие к неверному ответу: −1 балл к номиналу.
B1. Сформулировано но не доказано утверждение, что mi — минимальное число, для которого 
— 2 и 3 балла соответственно.
B2. Сформулировано и доказано утверждение из B1, (но непостижимым образом задача после этого не решена): 4 и 6 баллов соответственно.
C. Из-за путаницы со строгими знаками «доказано», что есть единственное значение α в пункте б), при верной общей логике решения: 5 баллов.
Баллы разных буквенных серий не складываются друг с другом.
Наверх