Нам нужно найти такие ир­ра­ци­о­наль­ные a, b, c, что abc ∈ Z, 2(ab + bc + ac) ∈ Z, a² + b² + c²— пол­ный квад­рат. На­при­мер, нам по­дой­дут корни мно­го­чле­на x³ − 9x² + 16x − 1. Легко ви­деть, что у него 3 по­ло­жи­тель­ных корня (до­ста­точ­но по­смот­реть на зна­че­ния в 0, 2, 4, 8), что у него нет ра­ци­о­наль­ных кор­ней (их чис­ли­тель и зна­ме­на­тель будут обя­за­ны де­лить еди­ни­цу, то есть быть рав­ны­ми ±1). При этом про­из­ве­де­ние кор­ней равно 1, сумма по­пар­ных про­из­ве­де­ний равна 16, a² + b² + c² = (a+b+c)² − 2(ab+bc+ac) = 92 − 2 · 16 = 81 − 32 = 49, зна­чит, боль­шая диа­го­наль равна 7.

Ответ: да, су­ще­ству­ет.

Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат Oxyz так, чтобы век­то­ры и сов­па­ли с еди­нич­ны­ми век­то­ра­ми и осей Ox, Oy и Oz со­от­вет­ствен­но. Тогда по­лу­чим, что и тогда

и, ана­ло­гич­но,

Вся сумма по­лу­чит вид где p, q и r  — чётные числа, для ко­то­рых

В част­но­сти, ра­вен­ство p  =  −4 ре­а­ли­зу­ет­ся че­тырь­мя спо­со­ба­ми:

также по 4 спо­со­ба есть для слу­ча­ев p  =  −4, p  =  4, p  =  −4, r  =  4 и r  =  −4. Для слу­чая име­ет­ся таким об­ра­зом спо­со­ба рас­ста­нов­ки стре­лок. Ра­вен­ства до­сти­га­ют­ся спо­со­ба­ми, a для ра­вен­ства есть рас­ста­но­вок. Сле­до­ва­тель­но, можно по­лу­чить раз­лич­ных век­то­ров

Ответ: 38.

Не­ра­вен­ство рав­но­силь­но си­сте­ме не­ра­венств:

1)  Пусть Тогда

2)  Пусть Тогда

3)  Пусть Тогда

4)  Пусть Тогда

5)  Изоб­ра­зим на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти се­че­ние кри­стал­ла (рис. 1). Тогда по­лу­чим, что пло­щадь се­че­ния равна: из пло­ща­ди боль­шой фи­гу­ры, со­сто­я­щей из 4-х по­ло­вин ма­лень­ких кру­гов ра­ди­у­сом и квад­ра­та со сто­ро­ной (т. Пи­фа­го­ра), вы­чи­та­ем пло­щадь боль­шо­го круга ра­ди­у­сом т. e.

Ответ: 8 кв. ед.

Не­ра­вен­ство рав­но­силь­но си­сте­ме не­ра­венств:

Ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство точек, ле­жа­щих внут­ри круга ра­ди­у­сом с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат.

Рас­смот­рим не­ра­вен­ство

1)  Пусть Тогда

2)  Пусть Тогда

3)  Пусть Тогда

4)  Пусть Тогда

5)  Изоб­ра­зим на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти се­че­ние кри­стал­ла. Най­дем пло­щадь се­че­ния (из пло­ща­ди боль­шо­го круга вы­чи­та­ем пло­щадь фи­гу­ры, со­сто­я­щей из 4-х по­ло­вин ма­лень­ких кру­гов и квад­ра­та).

Изоб­ра­зим на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти се­че­ние кри­стал­ла (см. рис). Тогда по­лу­чим, что пло­щадь се­че­ния равна: из пло­ща­ди боль­шо­го круга ра­ди­у­сом вы­чи­та­ем пло­щадь фи­гу­ры, со­сто­я­щей из 4-х по­ло­вин ма­лень­ких кру­гов ра­ди­у­сом и квад­ра­та со сто­ро­ной (т. Пи­фа­го­ра), т. е.

Ответ:  кв. ед.