Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71
Добавить в вариант
Длины диагоналей граней ABCD, ABB1A1 и ADD1A1 параллелепипеда ABCDA1B1С1D1 выражаются различными целыми числами. Какой наименьшей может быть сумма этих чисел?
Ни одна из рассматриваемых диагоналей не может иметь длину 1. Действительно, невозможно, равенство AB1 = 1, поскольку в треугольнике AB1D1 (сторона B1D1 которого равна BD) должно выполняться неравенство
Аналогично доказывается для диагоналей граней ABCD и ADD1A1. Таким образом, наименьшая длина одной из шести диагоналей рассматриваемых граней должна быть не меньше 2. Нетрудно установить существование параллелепипеда, у которого 6 диагоналей рассматриваемых граней равны 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Например, одновременного могут выполняться следующие равенства:
AB1 = 2, AC = 4, AD1 = 6, A1B = 3, A1D = 5, BD = 7.
Таким образом, наименьшая сумма длин граней ABCD, ABB1A1 и ADD1A1 равна 27.
Ответ: 27.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 10 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему решения, но в результате описки/арифметической ошибки получен неверный ответ или не найдена искомая сумма при верно найденных длинах диагоналей. ИЛИ Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования. В частности, не показано, что параллелепипед с указанными длинами диагоналей существует. Ответ верный. | ± | 7 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Составлены верные соотношения для длин искомых диагоналей. Показано, что все диагонали должны иметь длину не меньше 2. Не обосновано даны правильные длины рассматриваемых диагоналей. | +/2 | 5 |
| Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. Показано, что все диагонали должны иметь длину не меньше 2. Не обосновано даны правильные длины рассматриваемых диагоналей. ИЛИ Ответ верный. Рассмотрен частный случай прямоугольного параллелепипеда. | ∓ | 2 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
а) Докажите, что если каждая из диагоналей четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.
б) Найдите наибольшую площадь тени при ортогональной проекции на плоскость правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна единице, а плоские углы при вершине прямые.
в) Докажите, что если 
то по крайней мере один из квадратных трехчленов 
i = 1, 2, имеет действительный корень.
а) Поскольку 
то точки B и D расположены на одинаковом расстоянии от прямой AC, следовательно, середина диагонали BD лежит на AC. Аналогично, середина AC лежит на BD. Таким образом, точка пересечения обеих диагоналей делит каждую из них пополам.
б) Вместо того, чтобы пытаться выразить площадь проекции через площади граней пирамиды с использованием формулы 
лучше посмотреть, что представляет из себя проекция данной пирамиды. Возможны два случая. В первом из них проекция является треугольником — проекцией одной из граней пирамиды, во втором она — четырехугольник, диагоналями которого являются проекции некоторых двух ее скрещивающихся ребер. Ясно, что в первом случае площадь проекции наибольшая, если мы проектируем нашу пирамиду на плоскость, параллельную той ее грани, которая имеет наибольшую площадь; в нашем случае это основание пирамиды и ее площадь 
Второй случай более интересен. Площадь четырехугольника равна 
где d1, d2 — это длины его диагоналей, а 
— угол между ними. Ясно, что 
поэтому произведение всех этих величин не 
что меньше, чем 
Ответ: 
в) Рассмотрим сумму дискриминантов данных квадратичных многочленов,
Следовательно, хотя бы один из них неотрицателен.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Найдите наибольший объем треугольной пирамиды, четыре ребра которой имеют длину единица, а два оставшихся равны друг другу.
б) Найдите наибольший объем треугольной пирамиды, четыре ребра которой имеют длину единица.
в) Сколько различных (т. е. различимых по внешнему виду) каркасов треугольных пирамид можно составить из зеленых стержней длиной по 33 см каждый и красных стержней длиной по 20 см?
а-б) Прежде всего следует учесть, что имеются два различных варианта расположения единичных ребер. В первом из них в пирамиде имеются три таких ребра, исходящих из одной вершины. В этом случае очевидно, что пирамида имеет наибольший объем, если одно из этих ребер перпендикулярно двум другим, поэтому ее объем равен 
Теперь рассмотрим второй случай. Рассмотрим пирамиду, в которой 
Фиксируем ребро 
Пирамида будет иметь наибольший объем, если плоскости граней ABC и ABD перпендикулярны друг другу. Поскольку высоты этих граней равны 
то 
Дифференцируя, получаем, что наибольшее значение объема достигается при 
Для решения пункта а) задачи осталось заметить, что 
Ответ: 
в) Девять пирамид. Давайте вначале решим более простую задачу. Предположим, что зеленые и красные стержни имеют одинаковую длину. Составим таблицу, в которой в верхней строке указано число зеленых стержней, а в нижней — число различно окрашенных пирамид с таким числом зеленых стержней.
Не кажется ли вам странным число «4» в средней клетке этой таблиц? Действительно, три зеленых стержня могут:
а) выходить из одной вершины;
б) образовывать треугольник; и
в) образовывать незамкнутую пространственную ломаную. Однако оказывается, что в последнем случае имеются две различимые конфигурации, так сказать, «правая» и «левая» (см. рисунок)!
Задача в ее исходной постановке отличается от только что разобранной тем, что в необходимо исследовать вопрос о существовании пирамиды с данными длинами ребер в каждом из рассмотренных выше случаев. К примеру, пирамида, в которой отрезки длины a образуют треугольник основания, а отрезки длины b выходят из вершины пирамиды, существует тогда и только тогда когда выполнено неравенство 
Поскольку в нашем случае 
то существуют пирамиды как с зеленым, так и с красным основаниями.
Далее, пирамида, в которой одно ребро имеет длину a, о остальные — длину b, также существует тогда и только тогда, когда выполнено неравенство 
поскольку для этого нужно, чтобы 
(см. рисунок).
Исследуем теперь возможность построения пирамиды, три ребра которой по 20 см каждый образуют незамкнутую ломаную. Также как и выше, рассмотрим общий случай: в пирамиде имеются по три ребра длины a и b, образующие трехзвенные ломаные. Рассмотрим две соседние грани пирамиды и развернем их на плоскость двумя способами. Нетрудно видеть, что для существования такой пирамиды необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства 
Прямые вычисления показывают, что 
при любых a и b, а второе неравенство равносильно тому, что 
В нашей задаче 
поэтому пирамиды, в которой три красных ребра образовывали бы незамкнутую ломаную, не существует. Кстати, последнее неравенство равносильно тому, что 
Наконец, не реализуется еще один вариант расположения ребер данной длины (найдите его самостоятельно).
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Докажите, что если каждая из средних линий четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.
б) Найдите наибольшую площадь тени при ортогональной проекции на плоскость правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна единице, а боковое ребро — двум.
в) Докажите, что если 
(i = 1, 2, 3), то
а) Докажите, что если каждая из средних линий четырехугольника делит его на два равновеликих четырехугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.
Допустим, что 
причем B лежит между A и E, а C лежит между E и D (если продолжения сторон пересекаются с другой стороны четырехугольника, переобозначим вершины). Пусть также M — середина AB, N — середина CD, 
По условию 
и 
тогда
Решим 
отсюда
Противоречие.
Значит на самом деле AB параллельна CD. Аналогично из равенства других площадей получим AD параллельную BC, поэтому ABCD — параллелограмм.
б) Найдите наибольшую площадь тени при ортогональной проекции на плоскость правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна единице, а боковое ребро — двум. Докажем, что ответ 1.
Проекция пирамиды будет либо треугольником, либо четырехугольником. Если это треугольник, то он является проекцией одной из граней, поэтому его площадь не больше площади этой грани. Площадь основания равна 
а площадь боковой грани меньше 
(поскольку апофема не больше бокового ребра).
Если же это четырехугольник, то его диагонали являются проекциями скрещивающихся ребер пирамиды, поэтому их длины не больше 1 и 2, а тогда площадь не превосходит половины произведения диагоналей и не больше единицы.
С другой стороны, в правильной пирамиде боковое ребро перпендикулярно скрещивающемуся с ней ребру основания. Возьмем плоскость, параллельную этим двум ребрам, тогда длины проекций будут равны длинам ребер и проекции будут перпендикулярны друг другу, значит, площадь будет в точности 
Ответ: 1.
в) Решим задачу для произвольного числа n чисел 
Введем квадратные трехчлены 
Так как по условию 
и 
то 
при всех 
Значит,
откуда и следует неравенство 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Найдите все a, при которых уравнение 
не имеет решений на отрезке 
в) Найдите наименьшее расстояние между диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами
г) Найдите наибольшую площадь четырехугольника, длины последовательных сторон которого равны
а) Вместо того, чтобы решать иррациональное неравенство путем двукратного возведения в квадрат, можно поступить следующим образом. Пусть 
Поскольку на луче 
функции 
и 
— убывающие, то и функция f убывает на нем. Аналогично, f возрастает на луче 
Далее, 
а 
Таким образом, 
только при 
Ответ: 
б) Имеем:
тогда и только тогда, когда 
или 
т. е. когда число а является значением на отрезке 
(при некотором 
) одной из функций 
или 
Графики этих функций изображены на рисунке, откуда и следует ответ.
Ответ: 
в) Подчеркнем прежде всего, что основную часть решения данной задачи составляет геометрическое рассуждение. Именно, требуется доказать, что искомым расстоянием между диагональю BD грани ABCD и диагональю AC1 параллелепипеда является длина перпендикуляра, опущенного на AC1 из точки K — центра ABCD (см. рисунок). Для этого достаточно доказать, что прямая KP, которая по построению перпендикулярна AC1 также перпендикулярна и BD. Действительно, так как диагонали AC и BD и прямые CC1 и BD перпендикулярны между собой, то прямая BD перпендикулярна плоскости (ACC1), значит, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, и прямой KP. Само вычисление чрезвычайно просто:
Заметим, наконец, что если длины ребер параллелепипеда различны, то общий перпендикуляр к BD и AC1 уже не будет пересекать BD в его середине. В этом случае проще всего использовать методы аналитической геометрии, чтобы получить следующую общую формулу
Ответ: 
г) 
— площадь трапеции. Пусть d — диагональ четырехугольника. Тогда 
так что
Прямое дифференцирование показывает, что эта функция достигает своего наибольшего значение при 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Найдите все a, при которых уравнение 
имеет решения на отрезке 
в) Найдите наименьшее расстояние между диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами 4, 2, 4 см и не пересекающей ее диагональю его квадратной грани.
г) Найдите наибольшую площадь четырехугольника, длины последовательных сторон которого равны 2, 3, 4, 3 см.
а) Для начала найдем ОДЗ неравенства
Значит ОДЗ неравенства это 
При 
получаем
поэтому неравенство верно. При 
функция
возрастает и при этом 
Значит, подходят все и не подходят 
Ответ: 
б) Ясно, что нужно просто найти наименьший положительный корень этого уравнения и взять a не меньшие этого корня. Решая уравнение, получим 
где 
решим
Отсюда сразу видно, что первые корни определены только при 
а вторые — только при 
Кроме того, оба корня с минусом перед радикалом сразу отрицательны и их можно не учитывать, поскольку 
получим 
или 
Далее, ясно, что при меньших k получатся меньшие значения этих выражений, поэтому достаточно взять наименьшие k и сравнить результаты между собой. Сравним
или 
или 
Поскольку
наименьший корень равен 
Ответ: 
в) Пусть этот параллелепипед это ABCDA1B1C1D1, причем AB = AD = 4, AA1 = 2. Будем искать расстояние между AC1 и BD.
Заметим сразу, что прямые AC1 и BD перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах (проекция AC1 на ABCD это AC, а диагонали квадрата перпендикулярны). Пусть O — середина BD. Опустим перпендикуляр из O на AC1. Это и будет искомое расстояние между прямыми. В самом деле, этот отрезок будет перпендикулярен AC1 по построению, а его проекция будет лежать на диагонали AC (поскольку он лежит в плоскости ACC1A1), поэтому проекция (а значит и он сам) будет перпендикулярна BD.
Итак, можно вычислять ответ
Ответ: 
г) Рассмотрим четырехугольник ABCD, 
Пусть, далее, 
По неравенству треугольника получим 
и 
и 
откуда 
Ясно, что любое такое x подходит — оба треугольника ABC и ADC удается построить и склеить по стороне AC. Применим тогда к каждому из них формулу Герона, получим
Обозначим теперь 
(поскольку функция 
монотонна при 
). Тогда нам нужно будет найти наибольшее значение функции 
при 
Возьмем ее производную
Поэтому знак производной совпадает со знаком выражения 
которое очевидно убывает. Значит, нужно найти его корень 
и тогда на промежутке 
производная будет положительна (а функция возрастать), а на промежутке 
производная будет отрицательна (а функция убывать), поэтому наибольшее значение функции будет при 
Решим уравнение
Значит нужно выбрать 
и x — корень уравнения 
и получить площадь
На самом деле четырехугольник наибольшей площади с данными сторонами — вписанный. В нашем случае на его, роль, очевидно, подойдет равнобедренная трапеция.
Ответ: 
— площадь трапеции.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
— площадь трапеции.Какое наибольший объем пирамиды SABC, у которой AB = 5, AC = 8 и 
а все боковые ребра SA, SB, SC образуют с плоскостью основания одинаковые углы, не превышающие 60°?
Максимум объёма реализуется при угле 
тогда высота пирамиды равна 
где R — радиус описанной вокруг треугольника окружности. При заданных условиях возможны два треугольника — остроугольный и тупоугольный, площади которых совпадают (они равны 
но радиус описанной окружности будет больше у тупоугольного треугольника. Тогда
Итоговый объём равен
Ответ: 
Какое наибольший объем пирамиды SABC, у которой AB = 5, AC = 8 и 
а все боковые ребра SA, SB, SC образуют с плоскостью основания одинаковые углы, не превышающие 60°?
Прямоугольный параллелепипед 
составлен из кубиков со стороной 1. Сколько в нем можно выделить различных меньших параллелепипедов из таких кубиков?
Параллелепипед однозначно определяется 3 ребрами, выходящими из одной вершины. Ребро фиксированного направления однозначно определяется 2 точками — началом и концом. Если есть 
точка, то упорядоченную (одно значение всегда меньше другого) пару различных точек из них можно выбрать 
способами. Выбор ребра каждого из 3 направлений не зависит от выбора ребер других направлений, поэтому все такие количества перемножаются Один из такого числа параллелепипедов cовпадает с исходным, поэтому результат надо уменьшить на 1.
Ответ: 
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Боковое ребро правильной пирамиды равно 2. Может ли ее объем быть равным 3,25?
Объём правильной пирамиды меньше объёма описанного вокруг нее̄ конуса. Если обозначить боковое ребро через b, а угол между образующей конуса и основанием через 
то радиус основания конуса равен 
а высота конуса равна 
Таким образом, объём конуса равен
Найде̄м максимум функции
при 
Максимум функции 
при 
досчитается при 
то есть в точке 
Таким образом,
при 
может принимать значения от 0 до 
Значит, объём конуса может принимать значения от 0 до
Докажем, что
Последнее неравенство выполняется, так как
Поэтому пирамиды с объёмом 3,25 не существует.
Ответ: нет.
| Задача №8 = 15 баллов | Плюсы-минусы | Балл |
|---|---|---|
| Свел задачу к конусу, получил функцию объем конуса, при исследовании функции допущена ошибка, возможно приведшая к неверному ответу. Или без конуса. Найдено экстремальное значение R (или угла), есть формула максимального объема пирамиды при каждом n и указана ее точная верхняя грань | ± | 10 |
| Задача сведена к конусу, получена функция объема конуса, но нет или не обосновано требуемое сравнение | ∓ | 5 |
Объем правильной пирамиды равен 
Может ли ее боковое ребро быть равным 1,98?
| Задача №8 = 15 баллов | Плюсы-минусы | Балл |
|---|---|---|
| Свел задачу к конусу, получил функцию объем конуса, при исследовании функции допущена ошибка, возможно приведшая к неверному ответу. Или без конуса. Найдено экстремальное значение R (или угла), есть формула максимального объема пирамиды при каждом n и указана ее точная верхняя грань | ± | 10 |
| Задача сведена к конусу, получена функция объема конуса, но нет или не обосновано требуемое сравнение | ∓ | 5 |
На кондитерской фабрике решили разработать новый сорт конфет. По технологическим соображениям конфета должна иметь вид цилиндра объемом V и с площадью поверхности S. При каких условиях на V и S любые два цилиндра с такими параметрами равны?
Решение этой задачи разделим на две части: нахождение крайнего отношения между S и V и доказательство того, что в остальных случаях цилиндр может оказаться неединственным.
а) Пусть 
— высота и радиус некоторого цилиндра. Тогда 
и 
Построим экстремальную оценку. Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим трёх чисел имеем
Причём равенство достигается только при 
т. е при 
Таким образом, если 
то цилиндр задаётся однозначно.
б) Покажем, что при 
(или, что эквивалентно, 
цилиндр не определен однозначно.
Пусть 
Рассмотрим функцию
при 
Заметим, что
и 
По предположению
Поскольку функция 
непрерывна, найдутся такие 
и 
что 
Примем теперь
и 
Подстановкой убеждаемся, что площади полной поверхности каждого цилиндра (с радиусами основания 
и 
равны S, а также равны и их объёмы. Таким образом, найдено два различных цилиндра с одними и теми же значениями S, V.
Ответ: при условии 
Из металла отлиты три одинаковые правильные треугольные пирамиды объема 
Их удалось разместить так, что все пирамиды имеют общее боковое ребро и общую вершину. Найдите максимальное значение стороны основания пирамид.
Обозначим одну из пирамид через SABC, где SB — общее боковое ребро пирамид. Пусть 
—
так как треугольники ASB и BSC равны. По теореме косинусов
Пересечем всю конструкцию плоскостью, перпендикулярной ребру BS. В сечении каждой пирамиды будет угол 
Поскольку эти углы не налегают друг на друга, мы получим 
откуда
и 
Выразим объем пирамиды. Пусть SD — апофема пирамиды, SO — ее высота. Тогда
Поскольку функция 
возрастает на [−1, 1), мы получаем
Тогда
откуда 
и 
Равенство реализуется, если 
то есть в случае, когда между пирамидами нет зазоров.
Ответ: 12.
Из металла отлито m одинаковых правильных пирамид (
). Их удалось склеить так, что у них есть общее ребро и каждая пирамида имеет общую боковую грань ровно с двумя из остальных. Найдите минимальное значение плоского угла при вершине пирамид.
Пусть S — общая вершина пирамид, a — сторона их основания, α плоский угол при вершине, —
мы получаем 
где 
Тогда
Опустим из точек A и C перпендикуляры на ребро BS. Они придут в одну точку K, причем так как треугольники ASB и BSC равны. По теореме косинусов
Пересечем всю конструкцию плоскостью, перпендикулярной общему ребру пирамид. В сечении каждой пирамиды окажется 
и
Заметим, что с увеличением m или n правая часть растет, а угол α уменьшается. При этом должно выполняться условие
Такое возможно, если одно из чисел m и n равно 3, а другое не превосходит 5. Тогда максимальное значение 
реализуется при 
и 
В этом случае
Ответ: 
Даны две правильные треугольные пирамиды с вершиной S и плоским углом при вершине 
Они имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. Конус с вершиной S касается внешним образом обеих пирамид. Найдите максимально возможный угол при вершине конуса, при котором это возможно. (Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении).
Пусть BSC — общая боковая грань пирамид, A1SB и A2SB — их боковые грани, касающиеся конуса, ℓ — ось симметрии конуса, 2ψ — угол при его вершине. Так как боковые грани пирамид одинаковы, перпендикуляры, опущенные из точек A1, A2 и C на BS, придут в одну точку M. Отсюда, в частности, вытекает, что
Кроме того, плоскость A1MA2 перпендикулярна граням A1SB и A2SB. Конус касается этих граней, поэтому можно выбрать точки K на A1M и N на A2M так, что SK и SN — образующие конуса.
Пусть O — точка пересечения ℓ с плоскостью A1MA2. Докажем, что отрезок OK перпендикулярен плоскости A1MS. Впишем в конус шар, содержащий точку K. Он касается плоскости A1MS, так как лежит по одну сторону от нее. Тогда радиус шара, проходящий через точку K, перпендикулярен A1MS. Значит, он лежит в плоскости A1MA2, а центр шара принадлежит ℓ.
Пусть 
—
и 
Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника A1MC:
Так как точка C лежит в плоскости KMN и
мы получаем
и
Положим 
Тогда
Значит, угол ψ возрастает с ростом β, а максимальное значение β есть α. В случае 
получаем
Ответ: 
На столе лежат три конуса с общей вершиной, касаясь друг друга внешним образом. Оси симметрии первых двух конусов взаимно перпендикулярны. Два шара вписаны в третий конус и касаются друг друга внешним образом. Найдите максимальное отношение радиусов большего и меньшего шаров.
Пусть 2α, 2β, 2γ — углы при вершине кону сов. Отложим единичные отрезки ОA, ОВ, OC на лежащих в плоскости стола образующих кону сов. Пусть O1 и O2 — точки н а осях симметрии первых двух конусов, проекциями которых на стол являются точки A и B, ОD — единичный отрезок на общей образующей этих конусов. Треугольники ОO1A и OO1D равны по двум сторонам и углу, откуда отрезок DO1 перпендикулярен высоте DO и 
Аналогичным образом 
Поэтому
Применяя те же рассуждения к двум другим парам конусов, мы получим 
и 
По условию 
Значит, 
и 
то есть 
Поскольку 
треугольник ABC прямоугольный. По теореме Пифагора
Значит, 
а равенство реализуется при 
Отсюда вытекает, что макси мальное Зн ачение 
равно 
Пусть r и R — радиусы меньшего и большего шаров. Поскольку шары вписаны в третий конус, мы получим
Равенство реализуется при 
Ответ: 
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
На столе лежат два конуса с общей вершиной O, касаясь друг друга внешним образом. Угол между их осями симметрии 
Пусть 2α, 2β, 2γ — углы при вершине конусов. Отложим единичные отрезки ОA, OB, OC на лежащих в плоскости стола образующих конусов. Пусть O1 и O2 — точки на осях симметрии первых двух конусов: проекциями которых на стол являются точки A и B, ОD — единичный отрезок на общей образующей этих конусов. Треугольники O1A и OO1D равны по двум сторонам и углу, откуда отрезок DO1 перпендикулярен DO и
Аналогичным образом Поэтому
Применяя те же рассуждения к двум другим парам конусов, мы получим 
и 
Пусть 
Поскольку нам нужен меньший из двух возможных третьих конусов, луч ОC лежит внутри угла AOB. Тогда (см. верхний рисунок)
Заметим, что
и
По теореме косинусов для треугольника ABC:
Домножая это равенство на 
мы получим
Положим 
По условию 
откуда
и 
Числа 
и 
являются корнями квадратного уравнения
(относительно переменной t). Оно должно иметь решения, поэтому
Равенство реализуется при 
Ответ: 
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
В сферу радиуса R вписана правильная треугольная пирамида, у которой высота равна 
Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через медиану основания? Найдите отношение объёмов частей, на которые секущая плоскость разбивает пирамиду в этом случае.
Так как 
и 
то:
и
Следовательно, AB = AT = BT, все ребра пирамиды равны.
Будем считать, что секущая плоскость проходит через медиану TG и пересекает ребро BC в точке M. Проведем прямую GF параллельно основанию BC, точка F принадлежит AD, затем отрезок DE перпендикулярно TF, точка E принадлежит TF, далее отрезок EP параллельно основанию BC, точка P принадлежит TG, и PM параллельно DE, точка M принадлежит BC. Так, PM — общий перпендикуляр к BC и TG. Обозначим a = AB = AT. Тогда:
Площадь треугольника TGM равна:
Найдём ET:
откуда
Получаем
Итого объём равен:
Отношение объемов частей, на которые секущая плоскость разбивает пирамиду, равно 3 : 19.
Ответ: 
В сферу радиуса R вписана правильная треугольная пирамида, у которой высота относится к стороне основания, как 
:
Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через медиану боковой грани? Найдите отношение объёмов частей, на которые секущая плоскость разбивает пирамиду в этом случае.
Так как 
тогда:
Следовательно, AB = AT, все ребра пирамиды равны. Будем считать, что секущая плоскость проходит через медиану TG и пересекает ребро BC в точке M. Проведем GF параллельно BC при 
затем DE перпендикулярно TF при 
EP параллельно BC при 
а также PM параллельно DE при 
PM — общий перпендикуляр к BC и TG.
Обозначим 
Тогда:
Находим:
Итого площадь треугольника равна:
Вычислим:
тогда
Вычислим PE и BM:
Таким образом, найдём:
Отношение объемов частей, на которые секущая плоскость разбивает пирамиду, равно 
Пирамида - правильный тетраэдр (все его ребра равны), тогда:
Ответ: 
Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами AB = 24 и BC = 30, а боковое ребро пирамиды TA = 16 перпендикулярно плоскости основания. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через центр симметрии основания O, вершину пирамиды и точку M, лежащую на стороне BC? На какие части делит точка M ребро BC в этом случае?
При любом положении точки M на стороне BC грань TAB является ортогональной проекцией сечения TMN. Площадь сечения будет наименьшей, если наименьшим будет угол между секущей плоскостью и гранью TAB. Так как секущая плоскость проходит через центр симметрии основания O и вершину пирамиды T, то отрезок OT является наклонной к плоскости грани TAB, и наименьшим возможным углом будет 
где прямая OF перпендикулярна TAB, 
Линия пересечения секущей плоскости и плоскости грани TAB: TK перпендикулярна TF и пересекает прямую AB в точке K. Если условие TK перпендикулярна TF не выполнено, то 
и
Прямая, проведенная через точки K и O, пересекает ребро AD в точке N и ребро BC в точке M, 
— искомое сечение.
Если обозначить 
то
В 
и 
тогда
Точка M делит отрезок BC в отношении
| AB | BC | TA | TF | TO | | SNTM |  | BM | MC |
| 24 | 30 | 16 | 20 | 25 |  | 240 | 17 : 8 |  |  |
Ответ: наименьшая площадь сечения равна 
точка M делит ребро BC на части — 
точка M делит ребро BC на части — Наверх