сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 8 9

Всего: 17    1–17

Добавить в вариант

В про­стран­стве даны 5 точек, таких что в про­ек­ци­ях на ко­ор­ди­нат­ные плос­ко­сти ни­ка­кие три точки не лежат на одной пря­мой. Могло ли ока­зать­ся так, что каж­дая точка ровно в одной из этих про­ек­ций лежит внут­ри вы­пук­лой обо­лоч­ки осталь­ных? (Мы го­во­рим, что точка лежит внут­ри вы­пук­лой обо­лоч­ки дру­гих точек, если она лежит внут­ри тре­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в не­ко­то­рых трёх из этих точек.)


В кон­фе­рен­ции при­нял уча­стие 281 со­труд­ник из 7 раз­лич­ных фи­ли­а­лов фирмы. В каж­дой груп­пе из шести участ­ни­ков кон­фе­рен­ции по мень­шей мере двое были од­но­го воз­рас­та. До­ка­жи­те, что среди всех участ­ни­ков можно найти пя­те­рых од­но­го воз­рас­та, од­но­го пола и из од­но­го фи­ли­а­ла фирмы.


При каком ми­ни­маль­ном n в любом мно­же­стве из n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, не пре­вос­хо­дя­щих 100, най­дут­ся два, сумма ко­то­рых яв­ля­ет­ся про­стым чис­лом?


а)  Квад­рат раз­ме­ра 1 на 1 раз­бит на 25 не обя­за­тель­но оди­на­ко­вых пря­мо­уголь­ни­ков, каж­дый из ко­то­рых имеет оди­на­ко­вый пе­ри­метр p. Найти ми­ни­маль­ное и мак­си­маль­ное воз­мож­ное зна­че­ние p. б) Можно ли раз­бить еди­нич­ный квад­рат на 30 не обя­за­тель­но оди­на­ко­вых пря­мо­уголь­ни­ков пе­ри­мет­ра 2?


По кругу рас­по­ло­же­ны 2019 та­ре­ло­чек, на каж­дой лежит по од­но­му пи­рож­но­му. Петя и Вася иг­ра­ют в игру. За один ход Петя ука­зы­ва­ет на пи­рож­ное и на­зы­ва­ет число от 1 до 16, а Вася пе­ре­ме­ща­ет ука­зан­ное пи­рож­ное на ука­зан­ное число та­ре­ло­чек по или про­тив ча­со­вой стрел­ки (на­прав­ле­ние каж­дый раз вы­би­ра­ет Вася). Петя хочет, чтобы когда-ни­будь на одной из та­ре­ло­чек ско­пи­лось не мень­ше k пи­рож­ных, а Вася хочет ему по­ме­шать. При каком наи­боль­шем k Петя смо­жет до­бить­ся успе­ха?


Куз­не­чик пры­га­ет по чис­ло­вой пря­мой, на ко­то­рой от­ме­че­ны точки –а и b. Из­вест­но, что a и b  — по­ло­жи­тель­ные числа, а их от­но­ше­ние ир­ра­ци­о­наль­но. Если куз­не­чик на­хо­дит­ся в точке, ко­то­рая ближе к –a, то он пры­га­ет впра­во на рас­сто­я­ние, рав­ное a. Если же он на­хо­дит­ся в се­ре­ди­не от­рез­ка  левая квад­рат­ная скоб­ка минус a; b пра­вая квад­рат­ная скоб­ка или в точке, ко­то­рая ближе к b, то он пры­га­ет влево на рас­сто­я­ние, рав­ное b. До­ка­жи­те, что не­за­ви­си­мо от сво­е­го на­чаль­но­го по­ло­же­ния куз­не­чик в не­ко­то­рый мо­мент ока­жет­ся от точки 0 на рас­сто­я­нии, мень­шем 10−6.


По­сле­до­ва­тель­ность раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел an, n  =  1, 2, 3 ... та­ко­ва, что a_1=1, a_n плюс 1 мень­ше или равно 2n при всех n боль­ше или равно 1. До­ка­зать, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа m най­дут­ся такие члены этой по­сле­до­ва­тель­но­сти ap и aq, что a_q минус a_p=m.


В еди­нич­ном квад­ра­те где-то рас­по­ло­же­ны 51 точка. До­ка­жи­те, что в не­ко­то­ром квад­ра­те со сто­ро­ной  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби име­ют­ся хотя бы три из них. Верно ли, что най­дет­ся круг ра­ди­у­са  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , ко­то­рый также со­дер­жит по мень­шей мере три из этих точек?


Когда за­вер­шил­ся во­лей­боль­ный тур­нир в один круг (каж­дая ко­ман­да сыг­ра­ла с каж­дой ровно один матч, ко­то­рый одна из этих ко­манд вы­иг­ра­ла, а дру­гая  — про­иг­ра­ла), ока­за­лось, что каж­дая ко­ман­да вы­иг­ра­ла столь­ко же мат­чей, сколь­ко все по­беждённые ей ко­ман­ды в сумме. Сколь­ко ко­манд могло участ­во­вать в тур­ни­ре?


Петя по­кра­сил клет­ки квад­рат­ной доски раз­ме­ром 8 × 8 кле­ток в два цвета. Вася вы­би­ра­ет цвет, 2 стро­ки и 2 столб­ца и счи­та­ет сум­мар­ное ко­ли­че­ство кле­ток вы­бран­но­го им цвета в этих стро­ках и столб­цах. Какое наи­боль­шее сум­мар­ное ко­ли­че­ство кле­ток Вася га­ран­ти­ро­ван­но может по­лу­чить, какую бы рас­крас­ку не вы­брал Петя?


Вася впи­сал в клет­ки таб­ли­цы раз­ме­ром 10 × 10 все на­ту­раль­ные числа от 101 до 200. Он вы­чис­лил про­из­ве­де­ния чисел в каж­дой стро­ке таб­ли­цы и по­лу­чил набор из де­ся­ти чисел. Затем вы­чис­лил про­из­ве­де­ния чисел в каж­дом столб­це таб­ли­цы и также по­лу­чил набор из де­ся­ти чисел. Могли ли по­лу­чен­ные на­бо­ры ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми?


Вася впи­сал в клет­ки таб­ли­цы раз­ме­ром 10 × 10 все на­ту­раль­ные числа от 102 до 201. Он вы­чис­лил про­из­ве­де­ния чисел в каж­дой стро­ке таб­ли­цы и по­лу­чил набор из де­ся­ти чисел. Затем вы­чис­лил про­из­ве­де­ния чисел в каж­дом столб­це таб­ли­цы и также по­лу­чил набор из де­ся­ти чисел. Могли ли по­лу­чен­ные на­бо­ры ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми? Ответ обос­нуй­те.


Среди любых пяти узлов обыч­ной клет­ча­той бу­ма­ги обя­за­тель­но най­дут­ся два, се­ре­ди­на от­рез­ка между ко­то­ры­ми  — тоже узел клет­ча­той бу­ма­ги. А какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство узлов сетки из пра­виль­ных ше­сти­уголь­ни­ков не­об­хо­ди­мо взять, чтобы среди них обя­за­тель­но на­шлось два, се­ре­ди­на от­рез­ка между ко­то­ры­ми  — тоже узел этой сетки?

 

(А. К. Кулы­гин)


В ко­роб­ке лежат носки семи цве­тов. Если взять из ко­роб­ки 25 нос­ков, то среди них га­ран­ти­ро­ван­но ока­жут­ся все име­ю­щи­е­ся цвета. Чему равно наи­боль­шее число нос­ков, ко­то­рое может быть в ко­роб­ке?


Развернуть

1.4 До­ка­жи­те, что Шакти все­гда смо­жет найти стран­ное об­щи­тель­ное мно­же­ство не более, чем из 82 тро­гло­ди­тов.

1

1.1 В армии на­шлись тро­гло­ди­ты Вася и Петя, об­ра­зу­ю­щие об­щи­тель­ное мно­же­ство. Тогда Шакти может найти стран­ное об­щи­тель­ное мно­же­ство из не более, чем 50 тро­гло­ди­тов.


Вася по­ме­нял ме­ста­ми цифры трех­знач­но­го числа A так, что ни одна цифра но­во­го трёхзнач­но­го числа B не сов­па­ла с циф­рой числа A, сто­я­щей в том же раз­ря­де. Ока­за­лось, что раз­ность A − B  — дву­знач­ное число, яв­ля­ю­ще­е­ся пол­ным квад­ра­том. Чему может быть равно число A? Най­ди­те все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты.


В на­ча­ле каж­до­го урока физ­куль­ту­ры 30 школь­ни­ков раз­би­ва­ют­ся на 3 ко­ман­ды по 10 че­ло­век в каж­дой. До­ка­жи­те, что най­дут­ся два школь­ни­ка, ко­то­рые были в одной ко­ман­де три урока под­ряд.

Всего: 17    1–17