Всего: 83 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Известно, что для любого натурального числа n верна формула:
Здесь ak — целые числа, и 
при нечетном 
Докажите, что при 
числа 
и 
иррациональны.
При доказательстве будем пользоваться следующим утверждением: если рациональное число 
(p и q — взаимно простые числа) является корнем многочлена
с целыми коэффициентами 
то p является делителем a0, а q — делителем ak. Предположим, что — рациональное число (при некотором 
1) Пусть n кратно 4, то есть 
Тогда
Такое равенство невозможно, так как левая часть — иррациональное число 
тогда как значение правой части рационально.
2) Пусть n — нечетное число и 
Тогда
Тогда — рациональный корень многочлена
и, по сформулированному выше утверждению, 
где 
∪
Но то невозможно, так как при 
выполняется неравенство
Вновь получено противоречие.
3) Пусть, наконец, n чётно и не кратно 4. Тогда n имеет нечётный делитель p, то есть 
p — нечётное число; более того, если n∉
то всегда можно выбрать p так, что 
Тогда
В предыдущем пункте доказано, что число 
иррационально. Значит, число 
также иррационально, ибо в противном случае рациональной была бы и правая часть последнего равенства.
Таким образом, для всех натуральных 
показано, что —
Покажем, что для всех натуральных 
число 
иррационально. Предположим, что при некотором n —
а) Пусть n — четное число, 
Тогда
По доказанному, число 
иррационально, следовательно, иррационально и число 
б) Пусть n нечётно. Аналогично первой части рассуждений доказывается иррациональность числа 
Далее из равенства
следует иррациональность числа
Докажите, что для всех 
справедливо неравенство:
Указание: воспользуйтесь выпуклостью вниз графика функции 
на интервале 
Выполним преобразования
По условию 
Следовательно, числа 
лежат на интервале Рассмотрим функцию 
Её вторая производная 
положительна для всех 
значит, на этом интервале функция выпукла вниз.
На координатной плоскости отметим точки 
Левая часть последнего неравенства – сумма ординат точек A и B или, что тоже самое, – удвоенная ордината точки K – середины отрезка AB. Аналогично, правая часть последнего неравенства – удвоенная ордината точки M – середины CD. Поскольку 
выпукла вниз, весь отрезок AB расположен «выше» отрезка CD, а значит ордината точки K больше ординаты точки M. Неравенство доказано.
На доске написаны четыре различных положительных числа. Известно, что это 
и 
но неизвестно, в каком порядке. Всегда ли можно определить, где именно каждое из чисел?
Докажем существование таких чисел x и z, что 
и, кроме того,
Тогда на доске находятся, во-первых, числа 
и 
а, во-вторых, 
и невозможно определить, где какое число.
Решим уравнение:
Возведя уравнение в квадрат и раскрыв тангенс, получаем 
Обозначив 
Это уравнение имеет подходящий корень 
Осталось убедиться, что при таком значении 
все четыре числа различны. Это правда, так как числа из одной пары 
или 
совпадают при квадрате синуса равном 
совпадение чисел из разных пар означает равенство и вторых чисел тоже, откуда тангенс угла равен его синусу или косинусу, что также не выполняется при найденном значении. Кроме того, все эти числа меньше единицы, поэтому котангенса среди них нет.
Можно также просто вычислить эти числа, это
Ответ: нет, не всегда.
Замечание. Более простые варианты, при которых мы не можем однозначно распределить числа, не подходят из-за запрета равенства чисел или запрета наличия котангенса. В силу симметрии у задачи есть второе решение, в котором x и z меняются местами.
Только ответ «не всегда» — 0 баллов.
Ответ с конкретными (правильными) числами без объяснения — 1 балл.
Решение, в котором доказывается существование таких чисел, но они не находятся в явном виде без необходимых проверок на соответствие дополнительным условиям — 2 балла.
На доске написаны четыре различных положительных числа. Известно, что это 
и 
но известно, в каком порядке. Всегда ли можно определить, где именно каждое из чисел?
Докажем существование таких чисел x и z, что 
и, кроме того, 
Тогда на доске находятся, во-первых, числа 
и а, во-вторых, 
и невозможно определить, где какое число.
Возведём равенство 
в степень минус два (мы это можем делать, так как всё равно ищем положительные решения) и получим
Таким образом, нам необходимо решить уравнение 
что, после замены 
решим уравнение
Это уравнение имеет подходящий корень 
Осталось убедиться, что при таком значении 
все четыре числа различны. Это правда, так как числа из одной пары или 
совпадают при квадрате косинуса равном 1; совпадение чисел из разных пар означает равенство и вторых чисел тоже, откуда синус угла равен его тангенсу или котангенсу, что также не выполняется при найденном значении. Кроме того, что отсутствует на доске, так как 
аналогично для 
Можно также просто вычислить эти числа, это
Ответ:
Замечание. Более простые варианты, при которых мы не можем однозначно распределить числа, не подходят из-за запрета равенства чисел или запрета наличия косинуса. В силу симметрии у задачи есть второе решение, в котором x и z меняются местами.
Только ответ «не всегда» — 0 баллов.
Ответ с конкретными (правильными) числами без объяснения — 1 балл.
Решение, в котором доказывается существование таких чисел, но они не находятся в явном виде без необходимых проверок на соответствие дополнительным условиям — 2 балла.
Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значений функции:
С помощью формулы 
преобразуем данную Функцию к виду
Значения косинуса целиком заполняют промежуток 
при условии, что 
Наименьшее и наибольшее значение находим обоснованно любым способом (графически, через производную, выделением полного квадрата), в результате чего, имеем
Таким образом, множество значений функции содержит семь целых чисел: −2021, −2020, −2019, −2018, −2017, −2016, −2015.
Ответ: 7.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значений функции:
С помощью формулы 
преобразуем данную функцию к виду
Значения косинуса целиком заполняют промежуток
при условии, что 
Наименьшее и наибольшее значение находим обоснованно любым способом (графически, через производную, выделением полного квадрата), в результате чего, имеем
Таким образом, множество значений Функции содержит восемь целых чисел: −2022, −2021, −2020, −2019, −2018, −2017, −2016, −2015.
Ответ: 8.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
а) Упростите произведение 
б) Вычислите предел 
в) Докажите формулу Виета
а) Действительно,
Ответ: 
б) Имеем: 
так как 
а 
Ответ: 
в) В силу предыдущих пунктов имеем формулу
подставив в которую 
получим формулу Виета, поскольку нетрудно видеть, что
(n квадратных корней).
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Постройте эскиз графика функции 
б) Изобразите на плоскости множество точек 
для которых при всех x верно неравенство
в) Найдите наибольший радиус круга, лежащего в верхней полуплоскости, касающегося оси абсцисс в начале координат и не имеющего других общих точек с параболой 
г) Докажите, что 
при всех натуральных n.
а) Ясно, что функция 
определена только при 
и при условии 
то есть 
При таких x преобразуем функцию
Обозначим временно 
и решим неравенство 
Метод интервалов дает ответ 
то есть 
Если бы мы строили график 
то он был бы гиперболой с вертикальной асимптотой 
и горизонтальной
Поскольку —
эскиз графика 
(несколько подходящих точек поставлены точно) и результат отражения нижней части графика для получения итогового ответа 
Ответ: см. рис.
б) Перепишем неравенство в виде
Ясно, что 
принимает все значения от −1 до 1 включительно. Тогда наименьшее значение левой части равно 
а знак можно выбрать так, чтобы результат был отрицательным. Итак, требуется чтобы 
И наоборот, выполнения этого неравенства достаточно, чтобы условие
выполнялось всегда. Построим график 
и отметим все точки ниже этого графика.
Ответ: 
(см. рис.).
в) Обозначим центр этого круга за 
—
или 
Эта окружность не должна иметь общих точек с графиком 
кроме точки 
и этого достаточно — ведь тогда весь круг будет лежать внутри параболы. Попробуем найти их общие точки. Подставим в уравнение окружности 
или 
Значит либо 
(это разрешается), либо 
Это уравнение не имеет корней при 
имеет корень при 
и имеет другие корни при 
Поэтому максимальный радиус круга равен 
Ответ:
г) Пусть 
Если 
то 
а при
Осталось заметить, что
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
(см. рис.). а) Найдите все пары a, b комплексных чисел, таких что 
и 
б) Докажите, что если 
то 
в) Докажите, что если
то 
а) Заметим, что 
и аналогично 
Тогда можно преобразовать последнее уравнение
Значит либо 
либо 
(первый вариант включается во второй). Во втором случае 
и, значит, 
или 
или 
Итак, общий ответ — либо числа равны, либо их аргументы различаются на 
в одну из сторон.
Ответ: 
где ε — кубический корень из 1. Запишите 
в виде 
подставьте это выражение в заданное условие и решите полученное тригонометрическое уравнение.
б) Заметим, что и аналогичные равенства верны при b и c. Докажем, что
Раскрыв скобки, получим в обеих частях три единицы и сумму всех дробей вида «одно из чисел делить на другое».
Раскройте скобки и преобразуйте выражения
в) Докажите, что если
Из условия следует, что 
и 
откуда
откуда 
и поэтому 
Значит,
и поэтому 
Аналогично докажем, что 
Рассмотрим комплексные числа 
Данные равенства для x, y, z равносильны одному равенству 
для a, b, c. Поскольку модуль каждого из чисел a, b, c равен единице, то их аргументы отличаются на 
Раз, к примеру, 
то 
откуда и следует, что 
Попробуйте найти элементарное решение, в котором комплексные числа не используются.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
где ε — кубический корень из 1. Запишите в виде подставьте это выражение в заданное условие и решите полученное тригонометрическое уравнение. Числа x и y таковы, что выполняются равенства 
и 
Какое наименьшее значение может принимать сумма 
Преобразуем второе равенство:
Подставляя сюда 
вместо 
получаем
откуда есть две возможности.
1) Когда 
то есть искомое выражение обращается в ноль.
2) Когда 
Тогда 
где 
а из первого уравнения получаем, что
Тогда минимальное значение суммы 
принимается при 
и 
где 
и оно 
применим формулу косинуса двойного угла:
откуда
Итак, при заданных условиях
Ответ: 
Задача сведена к исследованию двух случаев (как в решении) — 3 балла.
Показано, что в одном из случаев искомая величина равна 0 —1 балл.
Разобран случай, дающий ответ в задаче — 2 балла.
Не вычислен 
и пр. — баллы не снимаются.
Ошибка в тригонометрической формуле — 0 баллов за задачу.
Неверно решено элементарное тригонометрическое уравнение — не более 2 баллов за задачу.
Числа x и y таковы, что выполняются равенства 
и 
Какое наименьшее значение может принимать сумма 
Преобразуем второе равенство:
Подставляя сюда вместо 
получаем
откуда есть две возможности.
1) Когда 
т. е. искомое выражение обращается в ноль.
2) Тогда где а из первого уравнения получаем, что
Тогда максимальное значение суммы 
принимается при 
и 
где 
и оно 
применим формулу косинуса двойного угла:
откуда
Итак, при заданных условиях
Ответ: 
Задача сведена к исследованию двух случаев (как в решении) — 3 балла.
Показано, что в одном из случаев искомая величина равна 0 —1 балл.
Разобран случай, дающий ответ в задаче — 2 балла.
Не вычислен и пр. — баллы не снимаются.
Ошибка в тригонометрической формуле — 0 баллов за задачу.
Неверно решено элементарное тригонометрическое уравнение — не более 2 баллов за задачу.
Найдите наименьшее значение функции
на интервале 
При имеем
(равенство достигается при 
при этом
Значит, нужно найти наименьшее значение функции 
при 
Функция 
возрастает при 
Ответ: 
Найдите минимальное значение выражения 
если известно, что 
Имеем
откуда 
поэтому по формуле косинуса двойного аргумента
Минимальное значение достигается при 
Ответ: 
Найдите наименьшее значение функции
на интервале 
Найдите минимальное значение выражения если известно, что 
Для всех троек (x, y, z), удовлетворяющих системе
Найдите наименьшее значение выражения 
Возводя в квадрат первое уравнение и добавляя к обеим частям 1, с учетом второго уравнения имеем
Проделывая ту же процедуру с третьим уравнением, находим
Складывая полученные соотношения, получаем
Подставляя эту величину в предыдущие формулы, вычисляем 
Стало быть, в решения 
данной в условии системы могут входить только числа
где 
и, поэтому возможны только случаи
Теперь проанализируем систему по знакам левых и правых частей:
а) если x лежит в I четверти, то либо y лежит в I четверти, z лежит в I четверти, либо y лежит в III четверти, z лежит во II четверти;
б) если x лежит во II четверти, то либо y лежит в I четверти, z лежит в III четверти, либо y лежит в III четверти, z лежит в IV четверти;
в) если x лежит в III чет верти, то либо y лежит во II чет верти, z лежит во II четверти, либо y лежит в IV четверти, z лежит в I чет верти;
г) если x лежит в IV четверти, то либо y лежит во II четверти, z лежит в IV четверти, либо y лежит в IV четверти, z лежит в III четверти.
Взяв тройку 
(пря мой проверкой убеждаемся, что она удовлетворяет системе из условия задачи), у которой x в III четверти, а z в I четверти, получаем минимальное из возможных значений 
равное
Ответ: 
Для всех троек (x, y, z), удовлетворяющих системе
Найдите наименьшее значение выражения 
Числа 
записаны в ряд. Средние арифметические любых трех соседних чисел равны. Найдите все значения α, при которых это возможно.
Обозначим данные 5 чисел через
Рассмотрим пару полученных равенств.
Из первого
а) Если 
то 
Тогда
Следовательно, 
что может быть только при четных n. Таким образом, в первом случае получаем 
б) Если 
Тогда
Hо тогда 
Таким образом, во втором случае решений нет.
Ответ: 
1. Проверку и оценивание работ проводит Жюри Олимпиады.
2. Задача оценивается по
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты — незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки.
Негрубые ошибки — технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов.
Грубые ошибки.
I. Логические, приводящие к неверному заключению.
II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа.
III. Неверный чертеж в геометрических задачах.
IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.
3. Решение, приведенное в черновике или выполненное карандашом, не проверяется и не оценивается.
4. По окончании проверки подсчитывается суммарная оценка работы как сумма оценок за задачи 1−5 с весом 2.
5. Суммарная оценка проставляется на работу и подтверждается подписью члена Жюри.
Для каждого натурального 
пусть 
означает число решений уравнения 
на интервале 
Найдите явный вид зависимости от n и определите, сколько раз принимает значение 2017.
По формуле разности синусов
что обращается в 0 при 
или при 
Из первого уравнения получаем
для любых целых j. Поскольку 
то 
Таким образом, в этом случае есть 
решений, где [a] обозначает целую часть числа а.
Второе уравнение имеет решение 
или 
для любых целых k. Поскольку то 
В этом случае есть
решений.
Однако среди решений первого и второго уравнения могут быть одинаковые, необходимо найти их. Решения будут совпадать, если
что эквивалентно делимости нацело числителя на знаменатель. При чётных n это невозможно, так как числитель — нечётное число, а знаменатель — чётное.
Если 
тогда знаменатель кратен 8, а числитель кратен только 2, то есть этот случай также невозможен.
Рассмотрим оставшийся случай Вычтем из второго выражения удвоенное первое: то есть Отсюда следует, что то есть Значит, единственный случай, когда Таким образом, для каждого В итоге, формула для Поскольку Ответ: a) 
Условие «k-целое число» в эквивалентно 
и 
взаимно просты. Действительно, если предположить, что у них есть общий делитель d, 
и 
Следовательно, 
делится на 
при этом 
и с учётом нечётности 
Поэтому 
но 
делится на 
Это случай, когда
совпадает одно решение первого и второго уравнения. принимает вид: 
то 
и 
Значит, значение 2017 принимается 2 раза. 
б) 2 раза.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
б) 2 раза.Найти наименьшее и наибольшее значения функций 
В ответе указать модуль их разности.
Варианты ответов:
| а | б | в | г | д |
| 0,875 | 0,125 | 0,25 | 0,5 | 1 |
Преобразуем исходное выражение:
Пусть 
Тогда
Заметим, что 
переменная t принимает значения 
Функция g на этом отрезке монотонно убывает. Таким образом, значения на отрезке будут 
и 
Модуль разности этих значений
Ответ: 0,875.
Наверх