Всего: 29 1–20 | 21–29
Добавить в вариант
— количество цифр в исследуемом числе 
Пусть 
— основание системы счисления. Тогда 
Рассмотрим случаи четного и нечетного 
Таким образом, число A представлено в виде произведения двух целых сомножителей (по теореме Безу многочлен 
делится без остатка на многочлен 
), каждый из которых отличен от 1. Значит, при четных n число A простым не является.
. При 
оба сомножителя целые и отличны от 1; значит, число A составное. Остается убедиться, что при 
получается простое число 
где блок 344 повторяется n раз. Восьмеричное число y получается из x некоторой перестановкой цифр. Оказалось, что восьмеричная запись 
При каких n это возможно?
содержит 
блоков вида 20, поэтому 
откуда 
поэтому n нечетно. Заметим, что 
раз. Поскольку 
и 
троек. С другой стороны, запись числа x содержит n троек. 
При 
нам подходит число 
В шестнадцатеричной системе 
где блок 788 повторяется n раз. Шестнадцатеричное число y получается из x некоторой перестановкой цифр. Оказалось, что шестнадцатеричная запись 
равна 
При каких n это возможно?
откуда 
поэтому n нечетно. Заметим, что 
и 
где блок 31 повторяется n раз. При каких n число x будет точным квадратом?
и 
—
кратно 7, поэтому 
не делится на 7. Значит, 
и 
будут степенями двойки, откуда 
и 
Такое n, очевидно, удовлетворяет условию задачи.
где блок 31 повторяется n раз. При каких n число x будет точным квадратом?
случай 
нам подходит. Пусть 
Ясно, что 
и 
где 
и 
нечетны и различаются на 2. Так как этих множителей четыре, хотя бы один из них не делится на 3, 5, 17 и потому является точным квадратом. Рассмотрим два случая. 
—
Тогда 
— точный квадрат. Все эти числа имеют вид 
где 
—
Поэтому 
и 
Поскольку числа вида 
не делятся на 7, число 
делится на 7, но не на 49, что невозможно.Даны натуральные числа x и y. В восьмеричной системе они состоит из последовательных блоков по 4 одинаковых цифры. При каких n это возможно?
и 
—
Поэтому мы можем записать 
кратны 101. Тогда 
и 
Положим 
и 
Числа x, y получаются умножением соответственно λ, μ на число 
число 
четырехзначное. Действительно, при 
и для 
утверждение доказано. Число 
не более чем пятизначное, поскольку это сумма четырехзначных чисел 
u и v. Если s — цифра в пятом разряде 
то число 
есть 
-я
которая по условию постоянна и, следовательно, кратна 101. Но числа u и v также делятся на 101, откуда 
и число 
четырехзначное. Действительно, 
то утверждение сразу следует из 1), а в случае 
оно проверяется так же, как в 1). 
Действительно, вторая четверка цифр 
Но u также делится на 11, откуда 
иначе число 
—
Поэтому 
не удовлетворяет условию задачи.
Положим 
и 
Тогда 
откуда 
удовлетворяет условию задачи.
Натуральное число x в восьмеричной системе 2019-значное, его младшая цифр равна 3, все остальные цифры отличны 
содержит только цифры 1 и 6. Найдите (в восьмеричной системе).
-значного
При 
она не может быть 1, а с 6 совпадает только при 
Так как 
следующая цифра 
и 6 при 
Второй случай не подходит, поскольку в произведении (26 .. 263) (362 .. 62) в четвертом разряде окажется 4. Таким образом, 
и 
при 
равна 
Предположим, что для некоторого n утверждение доказано. Заметим, что 
Тогда 
справа приписывают 1. Если n оканчивается а 1 и приписывают 0, то к an справа приписывают 0. В остальных случаях an не меняется (когда к 0 приписывают 0 или к 1 приписывают 1). Запишем в двоичной системе число 
Проверяя первые несколько значений, найдем 
Следовательно, чтобы образовалось слагаемое xm нужно во всех скобках взять 
где k — ненулевой бит в двоичном разложении m, и число 2k, если k — нулевой бит. B итоге для того, чтобы найти коэффициент при xm нужно найти двоичное одиннадцатиразрядное разложение числа m (возможно с ведущими нулями). Если 
—
Девятизначное натуральное число A, записанное в десятичной системе счисления, получается из числа B перестановкой последней цифры на первое место. Известно, что число B взаимно просто с числом 18 и 
Найти наибольшее и наименьшее среди чисел A, удовлетворяющих этим условиям. (Два натуральных числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от единицы).
поэтому число B будет взаимно простым с 18 в том и только том случае, если оно не делится ни на 2, ни на 3. Если b — последняя цифра числа B, то число A выражается через B с помощью формулы 
делится на 10). 
Если B' и B оканчиваются на 9 и 
то 
Это число удовлетворяет всем условиям: оканчивается на 9, взаимно просто с 18 и является наибольшим среди всех таких чисел. Следовательно, ему соответствует наибольшее возможное число 
Среди чисел B, оканчивающихся единицей, наименьшее A соответствует наименьшему B. Если последняя цифра — единица, то самое маленькое число, удовлетворяющее неравенству 
—
которое удовлетворяет всем условиям: оканчивается единицей, взаимно просто с 18 и является наименьшим среди всех таких чисел. Ему соответствует наименьшее возможное число 
Восьмизначное натуральное число A, записанное в десятичной системе счисления, получается из числа B перестановкой последней цифры на первое место. Известно, что число B взаимно просто с числом 12 и 
Найти наибольшее и наименьшее среди чисел A, удовлетворяющих этим условиям. (Два натуральных числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от единицы).
поэтому число B будет взаимно простым с 12 в том и только том случае, если оно не делится ни на 2 , ни на 3.
то 
это 44 444 451. Но оно делится на 3, так как сумма цифр равна 30. Изменяя предпоследнюю цифру на 1, получим число 
которое удовлетворяет всем условиям: оканчивается единицей, взаимно просто с 12 и является наименьшим среди всех таких чисел. Ему соответствует наименьшее возможное число 
Девятизначное натуральное число A, записанное в десятичной системе счисления, получается из числа B перестановкой последней цифры на первое место. Известно, что число B взаимно просто с числом 24 и 
Найти наибольшее и наименьшее из чисел A, удовлетворяющих этим условиям. (Два натуральных числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от единицы).
поэтому число B будет взаимно простым с 24 в том и только том случае, если оно не делится ни на 2, ни на 3. Если b — последняя цифра числа B, то число A выражается через B с помощью формулы 
(ясно, что 
это 666 666 671. Оно удовлетворяет всем условиям: оканчивается единицей, взаимно просто с 24 и является наименьшим среди всех таких чисел. Ему соответствует наименьшее возможное число 
Восьмизначное натуральное число A, записанное в десятичной системе счисления, получается из числа B перестановкой последней цифры на первое место. Известно, что число B взаимно просто с числом 36 и 
Найти наибольшее и наименьшее из чисел A, удовлетворяющих этим условиям. (Два натуральных числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от единицы).
—
которое удовлетворяет всем условиям: оканчивается единицей, взаимно просто с 36 и является наименьшим среди всех таких чисел. Ему соответствует наименьшее возможное число 
то 
значит, 
Число в семеричной системе счисления является трехзначным. В системе счисления с основанием 11 оно записывается теми же тремя цифрами, но в обратном порядке. Какова его запись в десятичной системе счисления (найдите все возможные значения)?
то в системе счисления с основанием 11 оно равно 
Значит, 
то либо 
и 
(тогда 
либо 
и 
(тогда 
В первом случае число равно 
Построить машину, которая делит записанное на ленте число в единичной системе счисления на 2 нацело (то есть, число «шесть», представленное на ленте набором единиц 111 111 преобразуется в число 111, а число 11 111 в число 11). В качестве примера приведена машина Тьюринга, добавляющая к числу 1. В начальном состоянии s0 и в конечном состоянии f головка машины должна указывать на первую единицу числа.
«инициализация» результата;
замена первых двух единиц одной;
стирание очередной единицы числа; 
стирание следующей за очередной единицы числа; 
поиск конца результата; 
и добавление; 
единицы в его конце; 
поиск очередной единицы заданного числа; 
и повторение операции двух единиц числа единицей результата; 
завершение работы; 
через пропуск стертых символов; 
и остановкой; 
на первой единице результата; 
в случае чётного числа единиц; 
то же для нечётного числа единиц.
Каким арифметическим операциям она соответствует? Мы считываем символ 3 и умножаем его на 3, получаем четверичное число 21. Добавляем единицу, которая была «в уме» (состояние q1) и получаем 22. Это число как раз и соответствует правой части команды. По такому же принципу строятся и остальные команды.Постройте схему, выполняющую умножение вводимого числа в четверичной системе на 3.
Данная схема состоит из вершин (называемых состояниями) и стрелок, символизирующих правила, по которым работает эта схема. Схема начинает работу в начальном состоянии S0, выделенном оранжевым. Поступающее на ход число анализируется посимвольно. При рассмотрении каждого символа мы переходим из текущего состояния по стрелочке, над которой написан этот символ.
В данной задаче мы записываем число от последней цифры к первой. Если количество цифр в произведении больше количества цифр в множителе, для правильной работы автомата к множителю спереди нужно добавить 0 (т. е. добавить 0 в конце вводимой строки).
Например, для строки 123 автомат выдаст строку 322, а для строки 1230 (соответствующей тому же самому четверичному числу 321) выдаст результат 3222 (соответствующий числу 2223).
Каким арифметическим операциям она соответствует? Мы считываем символ 3 и умножаем его на 3, получаем четверичное число 21. Добавляем единицу, которая была «в уме» (состояние S1) и получаем 22. Это число как раз и соответствует правой части команды. По такому же принципу строятся и остальные команды.В
The
никак не повлияют на цифру, стоящую в 
для всякого натурального 
не повлияют на цифру, стоящую в 
-м
для каждого из этих m. Нетрудно убедиться, что в 10-м разряде будет стоять цифра 2, в 20-м — цифра 3 и т. д. до 90-го разряда, соответствующего 
поскольку число 9 представляется в виде суммы двух целых неотрицательных чисел 
способами — значит, в 90-м разряде будет стоять ноль, а в 
способами (i, j — целые неотрицательные числа). Осталось представить каждое из натуральных чисел от 11 до 20 в виде суммы двух целых неотрицательных чисел, не превосходящих 10. 
will not affect the 10th digit in any way. Similarly, the terms corresponding to 
will not affect the digit in 
for each of these m. It is easy to make sure that the 10th digit will contain digit 2, the 20th — digit 3, etc. up to the 90th position, corresponding to 
in 10 ways — that means that in the 90th position there will be zero, and 
равносильно уравнению 
поэтому 
тогда