Всего: 63 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–63
Добавить в вариант
На плоскости изображён квадрат
клеток. Вершины клеток будем называть узлами. Требуется в этом квадрате уложить трубу («тёплый пол») так, чтобы вход был в левом нижнем углу, а выход – в соседнем узле, и при этом труба прошла бы ровно один раз через каждый узел. Трубу разрешается укладывать только по границам клеток. На рисунке изображён пример укладки трубы в квадрате 3×3. Докажите, что уложить трубу возможно при любом нечётном значении n и невозможно ни при каком чётном n.
— нечётное число. Раскрасим узлы в черный белый цвет так, чтобы соседние узлы имели разные цвета. Тогда маршрут начинается узлом оного цвета, а заканчивается узлом другого цвета. Но тогда такой маршрут имеет чётную длину (количество пройденных узлов). Следовательно, невозможно построить соответствующий маршрут.
тогда последнее равно 
а их сумма равна 
откуда 
— нечётно. С другой стороны, для любого нечётного n сумма n последовательныхнатуральных чисел 
равна, очевидно, 
поэтому любое нечётное n удовлетворяет условию.На плоскости изображён квадрат клеток. Вершины клеток будем называть узлами. Требуется в этом квадрате уложить трубу («тёплый пол») так, чтобы вход был в левом нижнем углу, а выход – в соседнем узле, и при этом труба прошла бы ровно один раз через каждый узел. Трубу разрешается укладывать только по границам клеток. На рисунке изображён пример укладки трубы в квадрате 3×3. Докажите, что уложить трубу возможно при любом нечётном значении n и невозможно ни при каком чётном n.
На плоскости изображён квадрат клеток. Вершины клеток будем называть узлами. Требуется в этом квадрате уложить трубу («тёплый пол») так, чтобы вход был в левом нижнем углу, а выход – в соседнем узле, и при этом труба прошла бы ровно один раз через каждый узел. Трубу разрешается укладывать только по границам клеток. На рисунке изображён пример укладки трубы в квадрате 3×3. Докажите, что уложить трубу возможно при любом нечётном значении n и невозможно ни при каком чётном n.
Чётное число 2N > 2 называется подходящим, если оно делится на модуль разницы между наибольшим из своих чётных делителей, отличных от 2N, и наибольшим из своих нечётных делителей. Сколько существует подходящих чётных чисел, не превосходящих 2018?
что возможно только при условии k = 2. Если k = 1 и m = ps, где p минимальный простой нечетный делитель m, то 2ps делится на 2s − ps = (2 − p)s, откуда имеем p−2|p, значит, p = 3. Число N или имеет остаток 2 по модулю 4 или имеет остаток 3 по модулю 6. Тем самым число 2N является подходящим, если число N может иметь остаток 2, 3, 6, 9, 10 по модулю 12. Это значит, что в каждом ряду из 12 последовательных четных чисел ровно пять подходящих. Используя равенство 2018 = 2 · (12 · 84 + 1), получаем ответ 420 = 5 · 84.Из натурального числа n разрешается получить либо число 2n + 1, либо число 3n + 2. Два натуральных числа называются совместимыми, если из них можно получить одно и то же число с помощью некоторого количества таких операций. Найдите все числа от 1 до 2017, совместимые с числом 2018.
равно степени двойки не ниже второй, то обе переменных должны быть чётными числами. Действительно, 
если одна из переменных нечётна, то вторая тоже, так как сумма их кубов чётна. В таком случае вторая скобка в разложении будет нечётным целым числом, делящим степень двойки, то есть, 
Рассматриваем последнее равенство как квадратное уравнение относительно x, если оно имеет решение, его дискриминант, равный 
должен быть неотрицательным, что возможно только при 
При y = 0 получим 
откуда 
При y = 1 получим 
откуда 
При y = −1 получим 
откуда 
При нечётных x, y получаются две пары значений: (1, 1) и (−1, −1), для которых 
равно, соответственно, 2 и −2, поэтому подходит только первая пара (1, 1) и 
в котором правая часть снова является степенью двойки выше первой. Продолжая в том же духе, дойдём до уравнения 
Из решения уравнения 
в предыдущей части с учётом 
для 
получаем (1, 0) или (0, 1), откуда (x, y) равно (x, y) или 
Найти все натуральные числа n такие, что n равно сумме трёх чисел, первое из которых является максимальным делителем числа 
отличным от второе — максимальным делителем числа 
отличным от и третье — максимальным делителем числа 
отличным от 
и 
равны 2, а минимальный простой делитель 
обозначим за р — нечётное простое число. Тогда 
— чётное число — противоречие.
Тогда меньшее из этих чисел меньше 4, то есть равно 3, а второе меньше 6, то есть равно 5. Пусть сначала p = 3, q = 5, тогда 
следовательно, возможный ответ n = 58. 
тогда 
следовательно, возможный ответ n = 66.
или 
.Собственным делителем натурального числа называется любой его делитель, отличный от единицы и самого числа. Найти все натуральные числа, имеющие не меньше двух различных собственных делителей и делящиеся на разность любых двух из них.
следовательно, n должно делиться на их разность, то есть число 
должно быть целым. Последнее возможно только, когда 
— целое число, то есть когда 
— чётный делитель числа 8. Отсюда получаем все возможные 
Проверяем каждое из них, они все удовлетворяют условию задачи.
выполнена проверка.
делится на 17, а значит то же самое выполняется и для суммы любых нечётных степеней. Это верно, так как 
делится на 
при нечётном m. По-другому можно это доказать так: 
значит, 
так как 
нечётно.
делится на 9. Число 17 в нечётной степени даёт при делении на 9 остаток 8, а в чётной — остаток 1. Число 
даёт остаток 1 при делении на 9, а значит и любая нечётная степень куба даёт такой же остаток. Таким образом, сумма 
делится на 9.
делится на 23, а значит то же самое выполняется и для суммы любых нечётных степеней. Это верно, так как 
По-другому можно это доказать так: 
(mod 23), значит, 
так как 
даёт такой же остаток, как и 
то есть 8, а 
даёт остаток 1. Дальше остатки зацикливаются и 
даёт остаток 8 при нечётном n и остаток 1 при чётном. Число 43 даёт при делении на 9 
даёт такой же остаток, как и 
то есть 1. Значит, 
даёт остаток 1 при делении на 9. Таким образом, сумма 
делится на 9.
Количество чисел, состоящих только из нечётных цифр, равно 
(на каждую из k позиций можно выбрать любую из цифр 1, 3, 5, 7, 9); количество чисел, состоящих только из чётных цифр, равно 
(на первую позицию можно выбрать любую из цифр 2, 4, 6, 8, а на оставшиеся позиции — любую из цифр 0, 2, 4, 6, 8). Следовательно, k-значных чисел, содержащих в своей записи только нечётные цифры, на 
больше, чем чисел, содержащих в своей записи только чётные цифры.
а чисел, записанных только чётными цифрами — 
(не забываем учесть само число 60 000. Итак, чисел, записанных только нечётными цифрами, больше на 
Количество чисел, состоящих только из нечётных цифр, равно 
а чисел, записанных только чётными цифрами — 
(не забываем учесть само число 80 000. Итак, чисел, записанных только нечётными цифрами, больше на В клетках таблицы 3 на n записаны натуральные числа. В каждой из трёх строчек встречается по одному разу
(Н. Филонов)
делится на n и, в частности, четно. Если бы среди чисел a, b и с было два или три нечетных, то число 
а во всей таблице — 
Противоречие.
Дальше заменим все числа, не кратные n, на их остатки при делении на n, а числа, кратные n, заменим на n. В новой таблице стоят уже натуральные числа, не превосходящие n, и в каждом столбце сумма попарных произведений чисел 
записаны натуральные числа. В каждой из 
строк по одному разу встречаются 
делится на b. Если утверждение задачи неверно, то из каждого числа a ведет стрелка как минимум в одно из чисел 
Кроме того, несложно видеть, что из числа n ведет стрелка в само число n. В самом деле, 
делится на n, поскольку 
стрелок. Следовательно, в одно из чисел ведет как минимум две стрелки. Но это невозможно: если 
и 
делятся на b, то 
кратно b, в то время как 
и 
делится на 
и 
делится на 
дает остаток 
при делении на 
где 
Тогда 
дает остаток 
при делении на 
делится на 
и не делится на 
а 
делится на 
и не делится на 
Очевидно, что при этом 
Тогда 
Пусть 
положим для краткости 
По лемме число 
то нам подойдет 
поскольку 
и 
дают равные остатки при делении на 
Сделаем переход от n к 
По индукционному предположению при некотором k число 
Если оно делится и на 
то переход сделан. Иначе оно дает остаток 
при делении на 
Пусть 
Тогда по лемме 
дает остаток 
Следовательно, 
дает остаток 
дает остаток 