Всего: 224 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастет на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату — на 15%, если же зарплату удвоят папе — на 25%. На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?
и если её удвоят, то доход семьи вырастет на 55%. 
(все дроби с натуральными числителем и знаменателем, сумма числителя и знаменателя которых равна 101) выбрать три, произведение которых равно 1?
произведение которых равно 1. Тогда 
Разрешается стереть любые два числа a и b и записать вместо них a + b = ab. После нескольких таких операций на доске осталось одно число. Чему оно может быть равно?
Разрешается стереть любые два числа a, b и написать вместо них ab + a + b, затем поступить так же с какими-то двумя из оставшихся, и так далее. Какое число может остаться последним?
различных мономов вида 
для всевозможных натуральных чисел 
и 
при этом 
для всех i. Школьники должны будут это доказывать.
если известно, что 
и 
если известно, что 
и сумма первых двух слагаемых выражения равна третьему.
и приведём к общему знаменателю: 
Ввиду 
сокращаем 
и 
: 
Последнее равносильно 
снова сокращаем 
получаем 
а искомое выражение равно 
— произвольные действительные числа. Доказать, что найдётся натуральное k, 
такое, что все k средних арифметических 
не превосходят 
обозначим среднее арифметическое чисел 
через Si. Докажем, что в качестве искомого можно взять любое k такое, что Sk минимально среди всех 
Для любого 
запишем:
и 
что и требовалось доказать. 
без обоснования.
Поэтому числа a, b, c будем искать в виде 
Остается подобрать целые неотрицательные показатели 
так, чтобы выполнялись соотношения 
По окружности выписано 10 чисел, сумма которых равна 100. Известно, что сумма каждых трех чисел, стоящих рядом, не меньше 29. Укажите такое наименьшее число А, что в любом наборе чисел, удовлетворяющем условию, каждое из чисел не превосходит А.
Пример набора с максимальным числом 13: 13, 9, 10, 10, 9, 10, 10, 9, 10, 10. 
означает, что 
Возьмем любую пару значений λ, при которой дискриминант принимает одно и то же положительное значение, например при 
и 
быть рациональными?
откуда 
В силу рациональности a и b последнее неравенство возможно только при 
откуда 
однако при этом 
что невозможно.
Найти все возможные значения выражения 
При этом a, b не могут одновременно равняться нулю, иначе знаменатель дроби в условии обращается в 0. Следовательно, скобка 
тоже не равна нулю. Разделив на неё, получим 
откуда 
(где a, b не равны 0). Подставив это выражение в дробь 
получим, что она равна 
не разбирая 
по условию, 
Если 
то первое неравенство возможно лишь при 
и в этом случае их сумма равна нулю. Если 
то из второго неравенства следует 
и снова сумма всех чисел равна 0. Умножая числа на −1, если нужно, дальше можем считать 
Тогда 
откуда 
и 
откуда 
и 
Из второго неравенства условия теперь получаем 
и 
Следовательно, 
что и требовалось доказать.
и не рассмотрен симметричный случай 
). Тогда числа с номерами 8k + 1, . . . , 8k + 8 будут иметь следующие остатки: a, a, 2a, 3a, 5a, a, 6a, 0.Дано несколько вещественных чисел, по модулю не превосходящих 1. Сумма всех чисел равна S. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, чтобы при некотором натуральном n < 100 сумма выбранных чисел отличалась от 
не более чем на 
. Это гипотетический критерий, ни одной работы, удовлетворяющей ему, не обнаружено.
Заметим, что каждое число входит ровно в шесть троек чисел, следовательно, сложив все десять сумм троек и поделив на 6, мы получим сумму всех пяти чисел, равную 16. Очевидно, что минимальной будет сумма 
откуда 
а максимальной — сумма 
откуда 
Значит, 
будет 
слагаемые которой в порядке возрастания не больше слагаемых любой другой, отличной от 
Предпоследней по величине перед 
будет 
слагаемые которой в порядке возрастания не меньше слагаемых любой другой, отличной от 
Теперь находим 
Итого: 
и найдены b и d.
и 
таковы, что отношение четырёхзначного числа 
к сумме 
является целым числом. Найти все возможные значения, которые может принимать это число.
откуда 
Заметим, что 
следовательно, 
откуда 
то есть 
Аналогично, 
следовательно, 
откуда 
то есть 
получим два двузначных числа, для которых отношение из условия которых будет в точности равно n.
и 