сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 7 9

Всего: 174    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

Во­круг тре­уголь­ни­ка ABC с углом ∠B = 60° опи­са­на окруж­ность. Ка­са­тель­ные к окруж­но­сти, про­ведённые в точ­ках A и C, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке B1. На лучах AB и CB от­ме­ти­ли точки A0 и C0 со­от­вет­ствен­но так, что AA0 = AC = CC0. До­ка­жи­те, что точки A0, C0, B1 лежат на одной пря­мой.


Каж­дый ход шах­мат­но­го коня  — пе­ре­ме­ще­ние на одну клет­ку по го­ри­зон­та­ли и две по вер­ти­ка­ли, либо на­о­бо­рот  — одну по вер­ти­ка­ли и две по го­ри­зон­та­ли. (На ри­сун­ке спра­ва конь, от­ме­чен­ный бук­вой К, может за один ход пе­ре­ме­стить­ся в любую из за­темнённых кле­ток.)

В про­из­воль­ной клет­ке пря­мо­уголь­ной доски раз­ме­ром 2 × 2016 кле­ток стоит шах­мат­ный конь. Пе­ре­ме­ща­ясь по опи­сан­но­му пра­ви­лу (и не вы­хо­дя при этом за края доски), он может из этой клет­ки по­пасть в не­ко­то­рые дру­гие клет­ки доски, но не во все. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство кле­ток нужно до­ба­вить к доске, чтобы конь мог из любой клет­ки доски по­пасть во все осталь­ные? (До­бав­ле­ние клет­ки про­ис­хо­дит так, чтобы она имела общую сто­ро­ну с одной из уже име­ю­щих­ся. До­бав­лять можно любое ко­ли­че­ство кле­ток, по­лу­чив­ша­я­ся при этом доска не обя­за­тель­но долж­на иметь пря­мо­уголь­ную форму).


Функ­ция f (x), опре­делённая при всех дей­стви­тель­ных x, яв­ля­ет­ся чётной. Кроме того, при любом дей­стви­тель­ном x вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 10 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 4.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой функ­ции, от­лич­ной от кон­стан­ты.

б)  До­ка­жи­те, что любая такая функ­ция яв­ля­ет­ся пе­ри­о­ди­че­ской.


Петя хочет про­ве­рить зна­ния сво­е­го брата Коли  — по­бе­ди­те­ля олим­пи­а­ды ”Выс­шая проба” по ма­те­ма­ти­ке. Для этого Петя за­ду­мал три на­ту­раль­ных числа a, b, c, и вы­чис­лил x = НОД(a, b), y = НОД(b, c), z = НОД(c, a). Затем он на­пи­сал на доске три ряда по пять чисел в каж­дом:

6, 8, 12, 18, 24

 

14, 20, 28, 44, 56

 

5, 15, 18, 27, 42

 

Петя со­об­щил Коле, что одно из чисел в пер­вом ряду равно x, одно из чисел во вто­ром ряду равно y, одно из чисел в тре­тьем ряду равно z, и по­про­сил уга­дать числа x, y, z. По­ду­мав не­сколь­ко минут, Коля спра­вил­ся с за­да­чей, пра­виль­но на­звав все три числа. На­зо­ви­те их и вы. До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет един­ствен­ная такая трой­ка (x, y, z).


Таб­ли­ца n × n за­пол­ня­ет­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми от 1 до 10 так, чтобы ни в одной стро­ке и ни в одном столб­це не было двух оди­на­ко­вых чисел. Сов­па­де­ние чисел, сто­я­щих в раз­ных стро­ках и столб­цах, до­пус­ка­ет­ся. Пусть f (n)  — ко­ли­че­ство таких рас­ста­но­вок. На­при­мер f (1) = 10, f (11) = 0.

а)  Что боль­ше, f (9) или f (10)?

б)  Что боль­ше, f (5) или f (6)?


Три раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных числа яв­ля­ют­ся тремя по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми не­ко­то­рой ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. Эти же три числа яв­ля­ют­ся тремя (не обя­за­тель­но по­сле­до­ва­тель­ны­ми) чле­на­ми не­ко­то­рой гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии. При­ве­ди­те при­мер трёх таких чисел.


Три раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных числа яв­ля­ют­ся тремя по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. Могут ли эти же три числа ока­зать­ся тремя (не обя­за­тель­но по­сле­до­ва­тель­ны­ми) чле­на­ми гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии?


Два ко­ри­до­ра вы­со­той и ши­ри­ной в 1 м идут пер­пен­ди­ку­ляр­но друг другу по пер­во­му и вто­ро­му этажу зда­ния. Раз­де­ля­ю­щее их пе­ре­кры­тие разо­бра­но, об­ра­зуя дыру 1 * 1 м в полу од­но­го и по­тол­ке дру­го­го. Ка­ко­ва мак­си­маль­ная длина балки, ко­то­рую можно пе­ре­дать из од­но­го ко­ри­до­ра в дру­гой через дыру? (Балку счи­тать не­гну­щим­ся от­рез­ком ну­ле­вой тол­щи­ны. Тол­щи­на пе­ре­кры­тия также равна нулю, т. е. пол верх­не­го ко­ри­до­ра и по­то­лок ниж­не­го ко­ри­до­ра на­хо­дят­ся в одной плос­ко­сти.)


Таб­ли­ца n × n за­пол­ня­ет­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми от 1 до 2016 так, чтобы ни в одной стро­ке и ни в одном столб­це не было двух оди­на­ко­вых чисел. Сов­па­де­ние чисел, сто­я­щих в раз­ных стро­ках и столб­цах, до­пус­ка­ет­ся. Пусть f (n)  — ко­ли­че­ство таких рас­ста­но­вок. На­при­мер f (1) = 2016, f (2017) = 0.

а)  Что боль­ше, f (2015) или f (2016)?

б)  Что боль­ше, f (1008) или f (1009)?


Во­круг тре­уголь­ни­ка ABC с углом ∠B = 60° опи­са­на окруж­ность. Ка­са­тель­ные к окруж­но­сти, про­ведённые в точ­ках A и C, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке B1. На лучах AB и CB от­ме­ти­ли точки A0 и C0 со­от­вет­ствен­но так, что AA0 = AC = CC0. До­ка­жи­те, что точки A0, C0, B1 лежат на одной пря­мой.


Функ­ция f (x), опре­делённая при всех дей­стви­тель­ных x, яв­ля­ет­ся чётной. Кроме того, при любом дей­стви­тель­ном x вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 10 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 4.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой функ­ции, от­лич­ной от кон­стан­ты.

б)  До­ка­жи­те, что любая такая функ­ция яв­ля­ет­ся пе­ри­о­ди­че­ской.


Петя хочет про­ве­рить зна­ния сво­е­го брата Коли  — по­бе­ди­те­ля олим­пи­а­ды ”Выс­шая проба” по ма­те­ма­ти­ке. Для этого Петя за­ду­мал три на­ту­раль­ных числа a, b, c, и вы­чис­лил x = НОД(a, b), y = НОД(b, c), z = НОД(c, a). Затем он на­пи­сал на доске три ряда по пять чисел в каж­дом:

6, 8, 12, 18, 24

 

14, 20, 28, 44, 56

 

5, 15, 18, 27, 42

 

Петя со­об­щил Коле, что одно из чисел в пер­вом ряду равно x, одно из чисел во вто­ром ряду равно y, одно из чисел в тре­тьем ряду равно z, и по­про­сил уга­дать числа x, y, z. По­ду­мав не­сколь­ко минут, Коля спра­вил­ся с за­да­чей, пра­виль­но на­звав все три числа. На­зо­ви­те их и вы. До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет един­ствен­ная такая трой­ка (x, y, z).


В ряд вы­пи­са­ны цифры 987654321. По­ставь­те между ними ровно два знака минус так, чтобы зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния было ми­ни­маль­ным. (На­при­мер, при рас­ста­нов­ке 9876 − 54 − 321 по­лу­ча­ет­ся 9501.)


Су­ще­ству­ет ли че­ты­рех­уголь­ник, ко­то­рый можно раз­ре­зать на три рав­ных тре­уголь­ни­ка двумя раз­ны­ми спо­со­ба­ми? Если не су­ще­ству­ет  — до­ка­жи­те, если су­ще­ству­ет  — по­строй­те при­мер.


Бо­лель­щи­ки Спар­та­ка го­во­рят прав­ду, когда Спар­так вы­иг­ры­ва­ет, и лгут, когда он про­иг­ры­ва­ет. Ана­ло­гич­но ведут себя бо­лель­щи­ки Ди­на­мо, Зе­ни­та и Ло­ко­мо­ти­ва. После двух мат­чей с уча­сти­ем этих че­ты­рех ко­манд, каж­дая из ко­то­рых за­кон­чи­лась по­бе­дой одной из ко­манд, а не ни­чьей, из бо­лель­щи­ков, смот­рев­ших транс­ля­цию, на во­прос "бо­ле­е­те ли вы за Спар­так?" по­ло­жи­тель­но от­ве­ти­ли 200 че­ло­век, на во­прос "бо­ле­е­те ли вы за Ди­на­мо?" по­ло­жи­тель­но от­ве­ти­ли 300 че­ло­век, на во­прос "бо­ле­е­те ли вы за Зенит?" по­ло­жи­тель­но от­ве­ти­ли 500 че­ло­век, на во­прос "бо­ле­е­те ли вы за Ло­ко­мо­тив?" по­ло­жи­тель­но от­ве­ти­ли 600 че­ло­век. Сколь­ко че­ло­век бо­ле­ло за каж­дую из ко­манд?


Най­ди­те наи­мень­шее целое по­ло­жи­тель­ное число, пред­ста­ви­мое в виде 20x в квад­ра­те плюс 80xy плюс 95y в квад­ра­те для не­ко­то­рых целых чисел x и y. Стро­го обос­нуй­те ответ.


На доске на­пи­са­ны числа 1, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , ... , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби . Раз­ре­ша­ет­ся сте­реть любые два числа a и b и за­пи­сать вме­сто них a + b  =  ab. После не­сколь­ких таких опе­ра­ций на доске оста­лось одно число. Чему оно может быть равно?


Слова языка ро­бо­тов пла­не­ты Ше­ле­зя­ка  — по­сле­до­ва­тель­но­сти стре­ло­чек «вверх», «вниз», «влево» и «впра­во», причём две про­ти­во­на­прав­лен­ные стре­лоч­ки не могут сто­ять рядом. Учи­тель на­пи­сал на доске 1000000 слов этого языка. Че­ты­ре уче­ни­ка пе­ре­пи­сы­ва­ют слова к себе в тет­радь, делая сле­ду­ю­щие из­ме­не­ния: уче­ник U при­пи­сы­ва­ет перед сло­вом стре­лоч­ку вверх, а если это за­пре­ще­но (слово на­чи­на­ет­ся с «вниз»), то уби­ра­ет это пер­вое «вниз», уче­ни­ки D, L, R де­ла­ют всё то же самое, толь­ко при­пи­сы­ва­ют со­от­вет­ствен­но стрел­ку вниз, влево или впра­во, и вычёрки­ва­ют пер­вый сим­вол, если он ока­зал­ся «вверх», «впра­во», «влево». До­ка­жи­те, что в одной из четырёх тет­ра­дей ми­ни­мум по­ло­ви­на (500 000) слов не будет встре­чать­ся среди слов на доске.


Дан куб, каж­дая грань ко­то­ро­го – это клет­ча­тое поле раз­ме­ром 2015 на 2015 кле­ток. В цен­тре одной из гра­ней стоит пешка. Данил и Мак­сим пе­ре­дви­га­ют пешку по клет­кам куба. Данил может хо­дить толь­ко на со­сед­нюю по сто­ро­не клет­ку (раз­ре­ша­ет­ся пе­ре­хо­дить на дру­гую грань, если клет­ки со­сед­ние по сто­ро­не), а Мак­сим может по­ста­вить пешку в любую клет­ку. Пешка кра­сит за собой клет­ки. На за­кра­шен­ную клет­ку пешку дви­гать нель­зя. Из­на­чаль­ная клет­ка (центр грани) за­кра­ше­на. Данил ходит пер­вым. Про­иг­ры­ва­ет тот, кто не может сде­лать ход. Кто вы­иг­ра­ет при пра­виль­ной игре обоих?


Дан тре­уголь­ник ABC, точки A1, B1, C1  — се­ре­ди­ны сто­рон BC, AC, AB со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что три пря­мые, про­хо­дя­щие через эти точки и па­рал­лель­ные бис­сек­три­сам про­ти­во­ле­жа­щих углов, пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

Всего: 174    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80