Всего: 100 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Через вершины треугольника ABC проведены три параллельные прямые a, b, c соответственно, не параллельные сторонам треугольника. Пусть A0, B0, C0 — середины сторон BC, CA, AB. Пусть A1, B1, C1 — точки пересечения пар прямых a и B0C0, b и C0A0, c и A0B0 соответственно. Докажите, что прямые A0A1, B0B1 и C0C1 пересекаются в одной точке.
Обозначим 
где знак плюс берётся, если r и s расположены в одной паре вертикальных углов относительно p и q, а знак минус — иначе.
равно двойному отношению прямых (a, p; c', b'). Аналогично 
и 
равны двойным отношениям (b, q; a', c') и (c, r; b', a'). Но из параллельности
Известно, что при перестановке прямых c' и b' двойное отношение x заменяется на 
а при перестановке прямых a' и b' — на 1 − x. Значит, 
и 
Получаем 
Различные прямые a и b пересекаются в точке О. Рассмотрим всевозможные отрезки АВ длины l, концы А и В которых лежат на a и b соответственно, и обозначим за Р точку пересечения перпендикуляров к прямым a и b, восстановленным из А и В соответственно. Найти геометрическое место точек Р.
где x — угол между прямыми a и b. Как мы уже заметили, ОР является диаметром этой окружности, следовательно, ОР всегда равен 
то есть точка Р всегда принадлежит окружности с центром О радиусом 
Угол АРВ равен x или 180 − x, следовательно, по теореме синусов АВ равен 
и точка Р является точкой пересечения перпендикуляров АР и ВР, восстановленных из концов отрезка АВ длины l, концы А и В которых лежат на a и b соответственно. Исключительный случай перпендикулярных прямых проверяется аналогично.Биссектрисы углов A, B и C треугольника ABC пересекаются с описанной около этого треугольника окружностью в точках A1, B1 и C1, соответственно. Найдите расстояния между точкой A1 и центром вписанной в треугольник ABC окружности, если известно, что 
по теореме о внешнем угле треугольника. Следовательно, треугольник OBA1 равнобедренный и A1B = A1O — искомый отрезок. Зная, что 
получаем 
По теореме синусов
Тогда 
Назовем положительное число a близким сверху положительному числу b, если a превосходит b, но не больше чем на 1%. Докажите, что если в треугольнике радианная мера одного из углов близка сверху к радианной мере другого угла, то найдутся две стороны этого треугольника такие, что длина одной из них близка сверху к длине другой.
близка сверху радианной мере угла 
то есть 
Покажем, что длина стороны a близка сверху длине стороны b. Поскольку напротив большего угла лежит большая сторона, достаточно доказать, что 
В силу убывания функции 
(школьники должны доказать это*), получаем: 
то 
По теореме синусов 
откуда 
:
Следовательно, функция 
убывает на отрезке 
на отрезке 
и 
равны. Обозначим их градусную меру за 
Тогда длины дуг 
получаем 
и 
Тогда
и 
и 
Тогда 
Три окружности, радиусов 1, 1 и 
расположены так, что треугольник, образованный центрами этих окружностей, является равносторонним со стороной 
Найдите, чему равен радиус описанной окружности около треугольника, каждая из вершин которого является точкой пересечения двух из этих окружностей, дальней от центра третьей окружности.
Треугольник, образованный центрами окружностей, правильный, поэтому точка O3 также окажется на этом серединном перпендикуляре. Следовательно, вся картинка симметрична относительно этого серединного перпендикуляра, в частности, точки B и C симметричны друг другу.
равнобедренный с вершиной A; кроме того, его стороны равны 1, 1 и 
откуда легко ищутся его 
обозначим за α, 
за β. В треугольнике 
мы знаем все стороны, значит, мы можем найти 
Далее, 
равнобедренный с углами 
и 
следовательно, 
откуда 
следовательно, 
Дан треугольник ABC, в котором AB = 2, BC = 8, AC = 8. Из точки B провели биссектрису, которая пересекла описанную окружность этого треугольника в точке D. Найдите, чем равно DI, где I центр вписанной окружности треугольника ABC.
а по теореме синусов в треугольнике 
через теорему синусов в треугольнике 
получаем 
Дан треугольник ABC, в котором AB = 4, BC = 4, AC = 1. Из точки A провели биссектрису, которая пересекла описанную окружность этого треугольника в точке D. Найдите, чем равно DI, где I центр вписанной окружности треугольника ABC.
а по теореме синусов в треугольнике 
через теорему синусов в треугольнике 
а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а 
На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что 
(точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите площадь треугольника ACF.
— радиусы данных в условии окружностей, 
и 
Тогда 
и по теореме синусов 
и 
Заметим, что 
Далее, углы ADC и ACD вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду AB, поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника CAD находим, что 
а) Две окружности одинакового радиуса 13 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а 
= 90^\circ . На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что BF=BD (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что BC = 10. Найдите площадь треугольника ACF.
— радиусы данных в условии окружностей, 
Далее, углы ADC и ACD вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду AB, поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника CAD находим, что 
а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите площадь треугольника ACF.
и 
Далее, углы ADC и ACD вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду AB, поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника CAD находим, что 
б) 
а) Две окружности одинакового радиуса 13 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что Найдите площадь треугольника ACF.
б) 
Две окружности одинакового радиуса 9 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй – точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
— радиусы данных в условии окружностей, 
Две окружности одинакового радиуса 7 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
— радиусы данных в условии окружностей, 
Три окружности, радиусов 3, 3 и 
расположены так, что треугольник, образованный центрами этих окружностей, является равносторонним со стороной 3. Найдите, чему равен радиус описанной окружности около треугольника, каждая из вершин которого является точкой пересечения двух из этих окружностей, дальней от центра третьей окружности.
Треугольник, образованный центрами окружностей, правильный, поэтому точка 
также окажется на это м œрединном перпендикуляре. Следовательно, вся картинка симметрична относительно этого серединного перпендикуляра, в частности, точки B и C симметричны друг другу.
равнобедренный с вершиной A; кроме того, его стороны равны 
за 
В треугольнике 
Далее, 
следовательно, 
следовательно, 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Внутри угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 от нее расположена точка M. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны этого угла.
г) Сколько сторон имеет сечение куба 
плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
получаем уравнение 
т. е. 
При 
имеем 
т. е. 
Вообще, 
есть решение только при 
Поэтому в дальнейшем будем считать, что 
После 
откуда 
Случай 
Из условий 
получаем, что 
Таким образом, 
при 
при 
так что 
Для определения коэффициентов уравнения 
плоскости 
получаем систему 
и 
Найдем координаты точки P пересечения прямой 
и плоскости KLM: 
так 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) На сторонах угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
и 
не подходят в неравенство. При прочих x можно домножить неравенство на 
и получить
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
поэтому он раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
поэтому он всегда положителен. Сократив его, получим 
откуда 
или 
и 
получаем 
Тогда 
и уравнение примет вид
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, получим
При прочих a можно сократить на 
получим
поэтому такой корень подходит.
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, отсюда
тогда 
При 
это невозможно (правая часть неположительная, а левая положительна). При 
получим
при условии 
то есть 
Итак, такой корень подходит при 
при прочих отрицательных a нет корней.
то есть 
в случаях 
Во всех случаях 
при 
и 
при 
при 
нет корней; при 
при 
и 
при 
при 
при 
при 
при 
тогда 
откуда 
Аналогично по теореме синусов для треугольника MKL получаем 
тогда 
и 
Отметим кроме того точку 
для которой 
Тогда 
и 
- параллелограмм (его стороны 
и AK равны и параллельны), поэтому 
и 
и 
поэтому 
—
и 
и 
поэтому точки K, L, M, D лежат в одной плоскости (и образуют там вершины параллелограмма). Этот параллелограмм и будет сечением куба, поэтому сечение имеет 4 стороны.