сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 8 9

Всего: 13    1–13

Добавить в вариант

Внут­ри вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка ABCD рас­по­ло­же­ны че­ты­ре окруж­но­сти од­но­го ра­ди­у­са так, что они имеют общую точку и каж­дая из них впи­са­на в один из углов четырёхуголь­ни­ка. До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник ABCD впи­сан­ный.


Вы­со­ты AA1, BB1, CC1 ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H. Пусть M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC, K  — се­ре­ди­на B1C1. До­ка­жи­те, что окруж­ность, про­хо­дя­щая через K, H и M, ка­са­ет­ся AA1.


У Пети есть ли­ней­ка дли­ной 10 см (то есть с по­мо­щью неё нель­зя про­во­дить от­рез­ки дли­ной боль­ше 10 см), и цир­куль с мак­си­маль­ным рас­тво­ром 6 см (то есть с по­мо­щью него не­воз­мож­но ри­со­вать окруж­но­сти ра­ди­у­са боль­ше 6 см). Де­ле­ний на ли­ней­ке и цир­ку­ле нет, то есть из­ме­рять рас­сто­я­ния ими нель­зя.

На листе бу­ма­ги на­ри­со­ва­ны две точки. Из­вест­но, что рас­сто­я­ние между ними равно 17 см. По­ка­жи­те, как Петя может со­еди­нить эти точки от­рез­ком, ис­поль­зуя толь­ко ту ли­ней­ку и цир­куль, ко­то­рые у него есть.


Тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром AB > AC, впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. В нём про­ве­де­ны вы­со­ты AA' и BB', и BB' по­втор­но пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке N. Пусть M  — се­ре­ди­на от­рез­ка AB. До­ка­жи­те, что если ∠OBN = ∠NBC, то пря­мые AA', ON и MB' пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.


Тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром AB > AC, впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. В нём про­ве­де­ны вы­со­ты AA' и BB', и BB' по­втор­но пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке N. Пусть M  — се­ре­ди­на от­рез­ка AB. До­ка­жи­те, что если ∠OBN = ∠NBC, то пря­мые AA', ON и MB' пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.


Тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром AB > AC, впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. В нём про­ве­де­ны вы­со­ты AA' и BB', и BB' по­втор­но пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке N. Пусть M  — се­ре­ди­на от­рез­ка AB. До­ка­жи­те, что если ∠OBN = ∠NBC, то пря­мые AA', ON и MB' пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.


Окруж­ность с цен­тром O опи­са­на во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD с пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми диа­го­на­ля­ми. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны дуг ABC и ADC этой окруж­но­сти. Пря­мая BO пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок CQ в точке R. На сто­ро­не AB вы­бра­на такая точка S, что пря­мые AQ и RS па­рал­лель­ны. До­ка­жи­те, что пря­мые CS и PD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.


Развернуть

3.3 Точка  J не равно D на от­рез­ке BD вы­бра­на так, что DE = JE. Из­вест­но, что  \angle ABM = 90°. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков ADJ и BEJ.

1

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность ра­ди­у­са r так, что диа­го­наль AC  — диа­метр окруж­но­сти. Диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Из­вест­но, что BD=AB и PC = альфа мень­ше r. Най­ди­те длину сто­ро­ны CD.


От­рез­ки AA', BB' и CC' с кон­ца­ми на сто­ро­нах ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P внут­ри тре­уголь­ни­ка. На каж­дом из этих от­рез­ков как на диа­мет­ре по­стро­е­на окруж­ность, в ко­то­рой пер­пен­ди­ку­ляр­но этому диа­мет­ру про­ве­де­на хорда через точку P. Ока­за­лось, что три про­ведённые хорды имеют оди­на­ко­вую длину. До­ка­жи­те, что P  — точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC.

 

(Г. Галь­пе­рин)


Пусть BC  — наи­боль­шая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка ABC. На сто­ро­не AB вы­бра­на точка K, на сто­ро­не AC  — точка L, а на сто­ро­не BC  — точки M и N так, что AK  =  AL, BK  =  BN, CL  =  CM. До­ка­жи­те, что точки K, L, M, N лежат на одной окруж­но­сти.


Дан тре­уголь­ник ABC, O1  — центр его впи­сан­ной окруж­но­сти; O2  — центр окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся сто­ро­ны BC и про­дол­же­ний двух дру­гих сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC. На дуге BO2 опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка O1O2B от­ме­че­на такая точка D, что угол BO2D вдвое мень­ше угла BAC, M  — се­ре­ди­на дуги BC опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. До­ка­жи­те, что точки D, M, C лежат на одной пря­мой.

 

(О. А. Пяйве)


Па­рал­ле­ло­грамм ABCD раз­делён диа­го­на­лью BD на два рав­ных тре­уголь­ни­ка. В тре­уголь­ник ABD впи­сан пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник так, что две его со­сед­ние сто­ро­ны лежат на AB и AD, а одна из вер­шин  — на BD. В тре­уголь­ник CBD впи­сан пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник так, что две его со­сед­ние вер­ши­ны лежат на CB и CD, а одна из сто­рон  — на BD. Какой из ше­сти­уголь­ни­ков боль­ше?

Всего: 13    1–13