сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 8 9

Всего: 92    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

В окруж­ность впи­сан рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC, M – се­ре­ди­на сто­ро­ны AB, N  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. До­ка­жи­те, что для любой точки K, ле­жа­щей на окруж­но­сти, ве­ли­чи­на угла MKN не пре­вос­хо­дит 60°.


У Пети есть ли­ней­ка дли­ной 10 см (то есть с по­мо­щью неё нель­зя про­во­дить от­рез­ки дли­ной боль­ше 10 см), и цир­куль с мак­си­маль­ным рас­тво­ром 6 см (то есть с по­мо­щью него не­воз­мож­но ри­со­вать окруж­но­сти ра­ди­у­са боль­ше 6 см). Де­ле­ний на ли­ней­ке и цир­ку­ле нет, то есть из­ме­рять рас­сто­я­ния ими нель­зя.

На листе бу­ма­ги на­ри­со­ва­ны две точки. Из­вест­но, что рас­сто­я­ние между ними равно 17 см. По­ка­жи­те, как Петя может со­еди­нить эти точки от­рез­ком, ис­поль­зуя толь­ко ту ли­ней­ку и цир­куль, ко­то­рые у него есть.


В тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD угол DAB пря­мой. Из­вест­но, что на сто­ро­не CD су­ще­ству­ет един­ствен­ная точка M такая, что угол BMA пря­мой. До­ка­жи­те, что BC=CM и AD=MD.


Впи­сан­ная в тра­пе­цию окруж­ность пе­ре­се­ка­ет ее диа­го­на­ли в точ­ках A,B,C,D. До­ка­жи­те, что сумма длин дуг BA плюс DC боль­ше суммы длин дуг AD плюс CB.


Дан тре­уголь­ник ABC. На сто­ро­не AC вы­би­ра­ют точку Q таким об­ра­зом, чтобы длина от­рез­ка MK, где M и K  — ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ров, опу­щен­ных из точки Q на сто­ро­ны AB и AC со­от­вет­ствен­но, ока­за­лась ми­ни­маль­ной. При этом QM = 1, QK= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , \angle B=45 гра­ду­сов. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.


Дана рав­но­бед­рен­ная опи­сан­ная тра­пе­ция ABCD. CD  — мень­шее ос­но­ва­ние, H  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из точки C на AB. До­ка­жи­те, что бис­сек­три­са угла A пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок CH.


Дана рав­но­бед­рен­ная опи­сан­ная тра­пе­ция ABCD. BC  — мень­шее ос­но­ва­ние, H  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из точки B на AD. До­ка­жи­те, что бис­сек­три­са угла D пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BH.


В тет­ра­эд­ре PABC про­ве­де­на вы­со­та PH. Из точки H на пря­мые PA, PB и PC опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры HA в сте­пе­ни prime, HB в сте­пе­ни prime и HC в сте­пе­ни prime. Плос­ко­сти ABC и A в сте­пе­ни prime B в сте­пе­ни prime C в сте­пе­ни prime пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой l. Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. До­ка­жи­те, что пря­мые OH и l пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

 

(А. Куз­не­цов)


Рас­кра­сим вер­ши­ны 2018-уголь­ни­ка в два цвета так, чтобы любые две со­сед­ние вер­ши­ны были раз­но­го цвета. Если сумма углов при вер­ши­нах од­но­го цвета равна сумме углов при вер­ши­нах дру­го­го цвета, будем на­зы­вать такой 2018-уголь­ник ин­те­рес­ным. В вы­пук­лом 2019-уголь­ни­ке от­ме­ти­ли одну вер­ши­ну. Ока­за­лось, что при уда­ле­нии любой не­от­ме­чен­ной вер­ши­ны оста­ет­ся ин­те­рес­ный 2018-уголь­ник. До­ка­жи­те, что при уда­ле­нии от­ме­чен­ной вер­ши­ны также оста­ет­ся ин­те­рес­ный 2018-уголь­ник.


Дан ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник ABC. На от­рез­ке AC и на про­дол­же­нии сто­ро­ны BC за точку C вы­би­ра­ют­ся такие пе­ре­мен­ные точки X и Y со­от­вет­ствен­но, что ∠\angle ABX плюс \angle CXY = 90°. Точка T  — про­ек­ция точки B на пря­мую XY. До­ка­жи­те, что все такие точки T лежат на одной пря­мой.

 

(С. Бер­лов)


Бис­сек­три­сы BB1 и CC1 ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке I. На про­дол­же­ни­ях от­рез­ков BB1 и CC1 от­ме­че­ны точки B′ и C′ со­от­вет­ствен­но так, что че­ты­рех­уголь­ник ABIC′  — па­рал­ле­ло­грамм. До­ка­жи­те, что если \angle BAC = 60 гра­ду­сов , то пря­мая BC′ про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния опи­сан­ных окруж­но­стей тре­уголь­ни­ков BC1B′ и CB1C′.


На ос­но­ва­нии AD тра­пе­ции ABCD от­ме­че­на точка E. Из­вест­но, что \angle CAD = \angle ADC = \angle ABE = \angle DBE. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BCE  — рав­но­бед­рен­ный.


Три ко­ну­са с вер­ши­ной A и об­ра­зу­ю­щей  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та   ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом. У двух ко­ну­сов угол между об­ра­зу­ю­щей и осью сим­мет­рии равен  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,   а у тре­тье­го он равен  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды O1O2O3A, где O1, O2, O3  — цен­тры ос­но­ва­ний ко­ну­сов.


Аналоги к заданию № 1899: 1908 Все


Три оди­на­ко­вых ко­ну­са с вер­ши­ной A ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом. Каж­дый из них ка­са­ет­ся внут­рен­ним об­ра­зом чет­вер­то­го ко­ну­са с вер­ши­ной в точке A и углом при вер­ши­не  дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .   Най­ди­те угол при вер­ши­не у оди­на­ко­вых ко­ну­сов. Углом при вер­ши­не ко­ну­са на­зы­ва­ет­ся угол между его об­ра­зу­ю­щи­ми в осе­вом се­че­нии.


На сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­на точка O. Окруж­ность ω с цен­тром в точке O пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки AO и OB в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но и ка­са­ет­ся сто­рон AC и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KN и LM лежит на вы­со­те AH тре­уголь­ни­ка ABC.


При бла­го­устрой­стве го­род­ско­го сада «Пи­фа­гор» сна­ча­ла были про­ло­же­ны три аллеи, об­ра­зу­ю­щие пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ост­рым углом  альфа . Сле­ду­ю­щие аллеи про­ло­жи­ли как внеш­ние квад­ра­ты на сто­ро­нах этого тре­уголь­ни­ка (по­лу­чи­лась фи­гу­ра, ил­лю­стри­ру­ю­щая тео­ре­му Пи­фа­го­ра и на­зы­ва­е­мая пи­фа­го­ро­вы­ми шта­на­ми). На­ко­нец, на тре­тьем этапе со­еди­ни­ли пря­мо­ли­ней­ны­ми ал­ле­я­ми центр наи­боль­ше­го квад­ра­та с вер­ши­ной пря­мо­го угла, а цен­тры двух мень­ших квад­ра­тов друг с дру­гом. Опре­де­ли­те, какая из аллей тре­тье­го этапа имеет боль­шую длину? При каком зна­че­нии угла  альфа их длины раз­ли­ча­ют­ся силь­нее всего?


Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. В точке C к этой окруж­но­сти про­ве­де­на ка­са­тель­ная l. Окруж­ность ω про­хо­дит через точки A и B и ка­са­ет­ся пря­мой l в точке P. Пря­мая PB пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок CD в точке Q. Най­ди­те от­но­ше­ние BC : CQ, если из­вест­но, что BD  — ка­са­тель­ная к окруж­но­сти ω.


В цар­стве Кол­дов­ской Энер­гии на плос­кой рав­ни­не стоит за­кол­до­ван­ная транс­фор­ма­тор­ная будка: на­блю­да­те­лю, смот­ря­ще­му па­рал­лель­но земле, она видна толь­ко под углом 45°. В по­пе­реч­ном се­че­нии будка квад­рат­ная со сто­ро­ной L лок­тей. Опи­ши­те гео­мет­ри­че­ское место точек на рав­ни­не, из ко­то­рых будка видна, и опре­де­ли­те ми­ни­маль­ное и мак­си­маль­ное рас­сто­я­ние, с ко­то­ро­го видна за­кол­до­ван­ная будка. Углом, под ко­то­рым фи­гу­ра F видна из точки P, на­зы­ва­ет­ся наи­мень­ший угол с вер­ши­ной P, со­дер­жа­щий фи­гу­ру F. В дан­ном слу­чае этот угол рас­по­ло­жен в плос­ко­сти по­пе­реч­но­го се­че­ния будки.


Внут­ри тре­уголь­ни­ка ABC вы­бра­на такая точка D, что ∠\angle BD = \angle ACD и \angle ADB = 90 гра­ду­сов.  Точки M и N се­ре­ди­ны сто­рон AB и BC со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те угол DNM.


Дан не­рав­но­бед­рен­ный ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник ABC. На лучах AB и AC вы­бра­ны со­от­вет­ствен­но такие точки K и L, что че­ты­рех­уголь­ник KBCL впи­сан­ный. Точка H  — ос­но­ва­ние вы­со­ты, опу­щен­ной из вер­ши­ны A на сто­ро­ну BC. До­ка­жи­те, что если KH = LH, то H  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка AKL.

Всего: 92    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80