сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 9

Всего: 196    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

Сумма трех по­ло­жи­тель­ных чисел равна их про­из­ве­де­нию. До­ка­жи­те, что хотя бы два из них боль­ше еди­ни­цы.


В тре­уголь­ни­ке ABC на про­дол­же­нии ме­ди­а­ны CM за точку C от­ме­ти­ли точку K так, что AM=CK. Из­вест­но, что угол BMC равен 60°. До­ка­жи­те, что AC=BK.


Васе за­да­ли на дом урав­не­ние x в квад­ра­те плюс p_1x плюс q_1 = 0, где p1 и q1  — целые числа. Он нашел его корни p2 и q2 и на­пи­сал новое урав­не­ние x в квад­ра­те плюс p_2x плюс q_2 = 0. По­вто­рив опе­ра­цию еще три­жды, Вася за­ме­тил, что он решал 4 квад­рат­ных урав­не­ния и каж­дое имело два раз­лич­ных целых корня (если из двух воз­мож­ных урав­не­ний два раз­лич­ных корня имело ровно одно, то Вася все­гда вы­би­рал его, а если оба  — любое). Од­на­ко, как ни ста­рал­ся Вася, у него не по­лу­чи­лось со­ста­вить пятое урав­не­ние так, чтобы оно имело два раз­лич­ных ве­ще­ствен­ных корня, и Вася силь­но рас­стро­ил­ся. Какое урав­не­ние Васе за­да­ли на дом?


Точка O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная сто­ро­не AC, пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BC и пря­мую AB в точ­ках Q и P со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что точки B, O и се­ре­ди­ны от­рез­ков AP и CQ лежат на одной окруж­но­сти.


Есть ли 2016-знач­ное число, пе­ре­ста­нов­кой цифр ко­то­ро­го можно по­лу­чить 2016 раз­ных 2016-знач­ных пол­ных квад­ра­тов?


В стра­не линг­ви­стов су­ще­ству­ет n язы­ков. Там живет m людей, каж­дый из ко­то­рых знает ровно 3 языка, при­чем для раз­ных людей эти на­бо­ры раз­лич­ны. Из­вест­но, что мак­си­маль­ное число людей, любые два из ко­то­рых могут по­го­во­рить без по­сред­ни­ков, равно k. Ока­за­лось, что 11n мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: m, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . До­ка­жи­те, что тогда в стра­не най­дут­ся хотя бы mn пар людей, ко­то­рые не смо­гут по­го­во­рить без по­сред­ни­ков.


Можно ли число  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния де­ся­ти по­ло­жи­тель­ных пра­виль­ных дро­бей? (То есть вы­ра­же­ний вида  дробь: чис­ли­тель: p, зна­ме­на­тель: q конец дроби , где p и  — на­ту­раль­ные числа и p мень­ше q. пра­вая круг­лая скоб­ка


Внут­ри вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка A1A2B2B1 на­шлась такая точка C, что тре­уголь­ни­ки CA1A2 и CB1B2 пра­виль­ные. Точки C1 и C2 сим­мет­рич­ны точке C от­но­си­тель­но пря­мых A2B2 и A1B1 со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки A1B1C1 и A2B2C2 по­доб­ны.


Урав­не­ние с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми x в сте­пе­ни 4 плюс ax в кубе плюс bx в квад­ра­те плюс cx плюс d = 0 имеет 4 по­ло­жи­тель­ных корня с уче­том крат­но­сти (т. е. сумма крат­но­стей всех по­ло­жи­тель­ных кор­ней этого урав­не­ния равна 4). Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние ко­эф­фи­ци­ен­та b при этих усло­ви­ях.


Бес­ко­неч­ную клет­ча­тую доску рас­кра­си­ли шах­мат­ным об­ра­зом, и в каж­дую белую клет­ку впи­са­ли по от­лич­но­му от нуля це­ло­му числу. После этого для каж­дой чер­ной клет­ки по­счи­та­ли раз­ность: про­из­ве­де­ние того, что на­пи­са­но в со­сед­них по го­ри­зон­та­ли клет­ках, минус про­из­ве­де­ние того, что на­пи­са­но в со­сед­них по вер­ти­ка­ли. Могут ли все такие раз­но­сти рав­нять­ся 1?


В куб с реб­ром 1 по­ме­сти­ли 8 не­пе­ре­се­ка­ю­щих­ся шаров (воз­мож­но, раз­но­го раз­ме­ра). Может ли сумма диа­мет­ров этих шаров быть боль­ше 4?


В од­но­кру­го­вом хок­кей­ном тур­ни­ре при­ни­ма­ло уча­стие 2016 ко­манд. По ре­гла­мен­ту тур­ни­ра за по­бе­ду да­ет­ся 3 очка, за по­ра­же­ние 0 очков, а в слу­чае ни­чьей иг­ра­ет­ся до­пол­ни­тель­ное время, по­бе­ди­тель ко­то­ро­го по­лу­ча­ет 2 очка, а про­иг­рав­ший  — 1 очко. По окон­ча­нии тур­ни­ра Оста­пу Бен­де­ру со­об­щи­ли ко­ли­че­ство очков, на­бран­ных каж­дой ко­ман­дой, на ос­но­ва­нии чего он сде­лал вывод, что не менее N мат­чей за­кон­чи­лись до­пол­ни­тель­ным вре­ме­нем. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние N.


На шах­мат­ном тур­ни­ре для 12 участ­ни­ков каж­дый сыг­рал ровно по одной пар­тии с каж­дым из осталь­ных. За вы­иг­рыш да­ва­ли 1 очко, за ничью  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , за про­иг­рыш 0. Вася про­иг­рал толь­ко одну пар­тию, но занял по­след­нее место, на­брав мень­ше всех очков. Петя занял пер­вое место, на­брав боль­ше всех очков. На сколь­ко очков Вася от­стал от Пети?



Внут­ри тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC от­ме­че­ны точки M и N так, что AM = CN и BM = DN, а че­ты­рех­уголь­ни­ки AMND и BMNC впи­сан­ные. До­ка­жи­те, что пря­мая MN па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции.


В ан­глий­ском клубе ве­че­ром со­бра­лись n его чле­нов  левая круг­лая скоб­ка n боль­ше или равно 3 пра­вая круг­лая скоб­ка . По тра­ди­ци­ям клуба каж­дый при­нес с собой сок того вида, ко­то­рый он пред­по­чи­та­ет, в том ко­ли­че­стве, ко­то­рое он пла­ни­ру­ет вы­пить в те­че­ние ве­че­ра. Со­глас­но пра­ви­лам клуба, в любой мо­мент любые три его члена могут при­сесть за сто­лик и вы­пить сока (каж­дый  — сво­е­го) в любом ко­ли­че­стве, но обя­за­тель­но все трое по­ров­ну. До­ка­жи­те, что для того, чтобы все члены могли в те­че­ние ве­че­ра пол­но­стью вы­пить при­не­сен­ный с собой сок, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы доля сока, при­не­сен­но­го любым чле­ном клуба, не пре­вос­хо­ди­ла одной трети от об­ще­го ко­ли­че­ства.


Можно ли че­тырь­мя плос­ко­стя­ми раз­ре­зать куб с реб­ром 1 на части так, чтобы для каж­дой из ча­стей рас­сто­я­ние между лю­бы­ми двумя ее точ­ка­ми было: а) мень­ше  дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; б) мень­ше  дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ? Пред­по­ла­га­ет­ся, что все плос­ко­сти про­во­дят­ся од­но­вре­мен­но, куб и его части не дви­га­ют­ся.


С ле­во­го бе­ре­га реки на пра­вый с по­мо­щью одной лодки пе­ре­пра­ви­лись N ту­зем­цев, каж­дый раз пла­вая на­пра­во вдво­ем, а об­рат­но  — в оди­ноч­ку. Из­на­чаль­но каж­дый знал по од­но­му анек­до­ту, каж­дый  — свой. На бе­ре­гах они анек­до­тов не рас­ска­зы­ва­ли, но в лодке каж­дый рас­ска­зы­вал по­пут­чи­ку все из­вест­ные ему на дан­ный мо­мент анек­до­ты. Для каж­до­го на­ту­раль­но­го k най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние N, при ко­то­ром могло слу­чить­ся так, что в конце каж­дый ту­зе­мец знал, кроме сво­е­го, еще не менее чем k анек­до­тов.


Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, де­ся­тич­ная за­пись квад­ра­та ко­то­ро­го окан­чи­ва­ет­ся на 2016.


Име­ют­ся ча­шеч­ные весы, ко­то­рые на­хо­дят­ся в рав­но­ве­сии, если раз­ность масс на их чашах не пре­вос­хо­дит 1 г, а также гири мас­са­ми  на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3,  на­ту­раль­ный ло­га­рифм 4, \ldots,  на­ту­раль­ный ло­га­рифм 79 г. Можно ли раз­ло­жить все эти гири на чаши весов так, чтобы весы на­хо­ди­лись в рав­но­ве­сии?

Всего: 196    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80