Всего: 11 1–11
Добавить в вариант
На доске 8 × 8 клеток можно расположить несколько доминошек (то есть прямоугольников из двух клеток), не накрадывающихся друг на друга. Пусть N — количество способов положить так 32 доминошки, а S — количество способов положить так 16 доминошек. Что больше — N или S? Способы, которые получаются друг из друга поворотом или отражением доски, считаются различными.
для 
Можно ли все квадраты, начиная со второго, уложить в первый квадрат без наложений?
и шириной 2020. Помещая эти прямоугольники, содержащие группы квадратов, один на другой, получим прямоугольник шириной 2020 и высотой, равной сумме высот прямоугольников: 
для 
Можно ли все квадраты, начиная со второго, уложить в первый квадрат без наложений?
и шириной 2021. Помещая эти прямоугольники, содержащие группы квадратов, один на другой, получим прямоугольник шириной 2021 и высотой, равной сумме высот прямоугольников: 
и уголков из трёх кубиков 
Вася целиком заполнил ими 
Из двух уголков можно сложить кирпич 
Если 
чётно, то основание коробки можно разбить на доминошки 
и поставить на них по кирпичу, заполнив тем самым коробку. Иначе разобьём основание коробки на квадрат 
и два прямоугольника (возможно пустых), см. рис. Прямоугольники разобьём на доминошки, а квадрат — как на рисунке. На доминошки поставим по кирпичу, а в оставшееся место положим три уголка. Коробка заполнена уголками.На клетчатой доске лежат доминошки, не касаясь даже углами. Каждая доминошка занимает две соседние (по стороне) клетки доски. Нижняя левая и правая верхняя клетки доски свободны. Всегда ли можно пройти из левой нижней клетки в правую верхнюю, делая ходы только вверх и вправо на соседние по стороне клетки и не наступая на доминошки, если доска имеет размеры
а) 
клеток;
б) 
клеток?
(Николай Чернятьев)
которое не позволяет пройти из левой нижней клетки в правую верхнюю. Действительно, попасть в (серую) область правее самой нижней доминошки нельзя, поскольку сначала мы должны подняться выше первой доминошки, и тогда мы уже выше серой полосы (а вниз ходить нельзя). Далее, нельзя попасть в аналогичную серую область правее следующей доминошки и т. д. Эта конструкция обобщается на любую доску 
Докажем, что в любую свободную клетку этой диагонали можно попасть.
Если клетка 
свободна, то хоть одна из клеток 
в 
не закрыт. Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке (0, 0) и вершинами в целых точках, что каждое очередное звено идёт по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. Каждой такой ломаной соответствует червяк — фигура, состоящая из клеток плоскости, имеющих хотя бы одну общую точку с этой ломаной. Докажите, что червяков, которые можно разбить на двуклеточные доминошки ровно n > 2 различными способами, столько же, сколько натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n. (Червяки разные, если состоят из разных наборов клеток.)
Например, простейший червяк, соответствующий ломаной из одного звена, имеет тип (2, 1) (рис. 4). Число способов разбить червяк типа (a, b) на доминошки равно a + b. Ясно, 
и взаимно простого с n числа a, такого что 
существует ровно два червяка типа (a, n – a).Доска 7 × 7 либо пустая, либо на ней лежит «по клеткам» невидимый корабль 2 × 2. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их включить. Включённый детектор сигнализирует, если его клетка занята кораблём. Какого наименьшего числа детекторов хватит, чтобы по их показаниям гарантированно определить, есть ли на доске корабль, и если да, то какие клетки он занимает?
должно быть хотя бы два детектора: прямоугольник состоит из трёх доминошек 
полосок, и если детектор в крайней доминошке, мы можем не понять, есть ли корабль на двух других доминошках, а если детектор в средней доминошке, мы можем не понять, какую из крайних доминошек занимает корабль вместе со средней доминошкой. Поэтому всего должно быть не менее 16 детекторов (см. рис. 1).
по одной клетке, по двум соседним или по всем четырём. В любом случае однозначно определяется положение корабля или его отсутствие. 
длины сторон которого a и b — целые числа, причем 
Ему удалось, не разрезая плиток, уложить ею две прямоугольные стены размерами 
и 
Найти a и b? Сколько плиток при этом было использовано?
размеры плитки. Из условия того, что плитка не резалась, следует, что число 
является делителем чисел 
Тогда каждое из чисел a и b делят 
Возможны варианты: 
2) 1433 плиток. На столе лежат 8 всевозможных горизонтальных полосок 1 × 3 из трёх квадратиков 1 × 1, каждый из которых либо белый, либо серый (см. рисунок). Разрешается переносить полоски в любых направлениях на любые (не обязательно целые) расстояния, не поворачивая и не переворачивая. Можно ли расположить полоски на столе так, чтобы все белые точки образовали многоугольник, ограниченный замкнутой несамопересекающейся ломаной, и все серые — тоже? (Полоски не должны перекрываться.)
У Бори и Гоши есть шахматная доска размером 10 × 10 и по набору из одинакового числа плиток. У Бори все плитки имеют размеры 1 × 3, а у Гоши некоторые плитки размеров 1 × 3, а остальные — 1 × 4. Ребята выкладывают свои плитки так, чтобы они не выступали за края доски, чтобы края плиток проходили по линиям клеток и чтобы никакие две плитки не касались друг друга (даже углами). Боре удалось выложить все свои плитки указанным способом. Докажите, что, убрав плитки Бори, Гоша тоже сможет уложить свои плитки, не нарушив правила.
Для укладки пола в квадратной комнате купили одинаковые квадратные плитки. 15 плиток оказались разбитыми. Оставшимися плитками выложили пол в другой комнате прямоугольной формы, в длину которой укладывается на 11 плиток больше, чем в ширину. Сколько плиток было куплено?
должно быть нечетным квадратом, то есть 
откуда 
Так как 61 — простое число, то 
и 
откуда z = 31, x = 15.