сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 9

Всего: 1000    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

Во­круг тре­уголь­ни­ка ABC с углом ∠B = 60° опи­са­на окруж­ность. Ка­са­тель­ные к окруж­но­сти, про­ведённые в точ­ках A и C, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке B1. На лучах AB и CB от­ме­ти­ли точки A0 и C0 со­от­вет­ствен­но так, что AA0 = AC = CC0. До­ка­жи­те, что точки A0, C0, B1 лежат на одной пря­мой.


Каж­дый ход шах­мат­но­го коня  — пе­ре­ме­ще­ние на одну клет­ку по го­ри­зон­та­ли и две по вер­ти­ка­ли, либо на­о­бо­рот  — одну по вер­ти­ка­ли и две по го­ри­зон­та­ли. (На ри­сун­ке спра­ва конь, от­ме­чен­ный бук­вой К, может за один ход пе­ре­ме­стить­ся в любую из за­темнённых кле­ток.)

В про­из­воль­ной клет­ке пря­мо­уголь­ной доски раз­ме­ром 2 × 2016 кле­ток стоит шах­мат­ный конь. Пе­ре­ме­ща­ясь по опи­сан­но­му пра­ви­лу (и не вы­хо­дя при этом за края доски), он может из этой клет­ки по­пасть в не­ко­то­рые дру­гие клет­ки доски, но не во все. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство кле­ток нужно до­ба­вить к доске, чтобы конь мог из любой клет­ки доски по­пасть во все осталь­ные? (До­бав­ле­ние клет­ки про­ис­хо­дит так, чтобы она имела общую сто­ро­ну с одной из уже име­ю­щих­ся. До­бав­лять можно любое ко­ли­че­ство кле­ток, по­лу­чив­ша­я­ся при этом доска не обя­за­тель­но долж­на иметь пря­мо­уголь­ную форму).


Петя хочет про­ве­рить зна­ния сво­е­го брата Коли  — по­бе­ди­те­ля олим­пи­а­ды ”Выс­шая проба” по ма­те­ма­ти­ке. Для этого Петя за­ду­мал три на­ту­раль­ных числа a, b, c, и вы­чис­лил x = НОД(a, b), y = НОД(b, c), z = НОД(c, a). Затем он на­пи­сал на доске три ряда по пять чисел в каж­дом:

6, 8, 12, 18, 24

 

14, 20, 28, 44, 56

 

5, 15, 18, 27, 42

 

Петя со­об­щил Коле, что одно из чисел в пер­вом ряду равно x, одно из чисел во вто­ром ряду равно y, одно из чисел в тре­тьем ряду равно z, и по­про­сил уга­дать числа x, y, z. По­ду­мав не­сколь­ко минут, Коля спра­вил­ся с за­да­чей, пра­виль­но на­звав все три числа. На­зо­ви­те их и вы. До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет един­ствен­ная такая трой­ка (x, y, z).


Из го­ро­да в де­рев­ню вышел Ви­кен­тий, а нав­стре­чу ему из де­рев­ни в город од­но­вре­мен­но вышел Афа­на­сий. Найти рас­сто­я­ние между де­рев­ней и го­ро­дом, если из­вест­но, что рас­сто­я­ние между пе­ше­хо­да­ми рав­ня­лось 2 км два­жды: сна­ча­ла, когда Ви­кен­тий прошёл по­ло­ви­ну пути до де­рев­ни, и потом, когда Афа­на­сий прошѐл треть пути до го­ро­да.


Можно ли пред­ста­вить число 199...99 (одна еди­ни­ца и 10 де­вя­ток) в виде суммы двух на­ту­раль­ных чисел, суммы цифр ко­то­рых оди­на­ко­вы?


Через точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми тре­уголь­ни­ка про­ве­ли пря­мые, со­от­вет­ствен­но па­рал­лель­ные бис­сек­три­сам про­ти­во­по­лож­ных углов. До­ка­жи­те, что эти пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.


Можно ли рас­ста­вить в вер­ши­нах куба раз­лич­ные целые числа так, чтобы число в каж­дой вер­ши­не рав­ня­лось сумме трёх чисел на кон­цах рёбер, вы­хо­дя­щих из этой вер­ши­ны?



Три раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных числа яв­ля­ют­ся тремя по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми не­ко­то­рой ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. Эти же три числа яв­ля­ют­ся тремя (не обя­за­тель­но по­сле­до­ва­тель­ны­ми) чле­на­ми не­ко­то­рой гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии. При­ве­ди­те при­мер трёх таких чисел.


На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =ax в кубе плюс bx в квад­ра­те плюс cx плюс d. Най­ди­те зна­че­ние па­ра­мет­ра b.


В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC (угол C  — пря­мой) про­ве­де­ны ме­ди­а­ны AM и BN, длины ко­то­рых равны 19 и 22 со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те длину ги­по­те­ну­зы дан­но­го тре­уголь­ни­ка.


Бух­гал­те­ры, ме­не­дже­ры и эко­но­ми­сты банка сидят за круг­лым сто­лом. Когда ди­рек­тор по­про­сил под­нять руку бух­гал­те­ров, рядом с ко­то­ры­ми сидит эко­но­мист, руку под­ня­ли 20 че­ло­век. А когда ди­рек­тор по­про­сил под­нять руку ме­не­дже­ров, рядом с ко­то­ры­ми сидит эко­но­мист, руку под­ня­ли 25 че­ло­век. До­ка­жи­те, что рядом с кем-то из под­ни­мав­ших руку сидит сразу два эко­но­ми­ста.




Опре­де­ли­те знак числа

A= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби плюс ... плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2012 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2013 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2014 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2015 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2016 конец дроби .

Знаки рас­став­ле­ны так: “+” перед пер­вой дро­бью, затем идут два“−” и два “+” по оче­ре­ди. Перед по­след­ней дро­бью стоит“+”.


Пусть все фирмы стра­ны имеют опре­де­лен­ный ранг, ко­то­рый яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным чис­лом. При сли­я­нии двух фирм ран­гов m и n по­лу­ча­ет­ся новая фирма ранга (m + n). При­быль по­лу­чен­ной фирмы будет на m · n боль­ше суммы при­бы­лей фирм ее об­ра­зу­ю­щих. При­быль фирмы пер­во­го ранга равна 1 д. е. Су­ще­ству­ет ли ранг, при ко­то­ром при­быль фирмы будет равна 2016 д. е.?


В ком­па­нии из 6 че­ло­век не­ко­то­рые ком­па­ни­я­ми по трое хо­ди­ли вме­сте в по­хо­ды. Верно ли, что среди них най­дут­ся чет­ве­ро, среди ко­то­рых каж­дые трое хо­ди­ли вме­сте в поход, либо чет­ве­ро, где ни­ка­кие трое не хо­ди­ли вме­сте в поход?


Па­ра­бо­ла x=y в квад­ра­те пе­ре­се­ка­ет­ся с не­ко­то­рой окруж­но­стью в четырёх точ­ках. До­ка­жи­те, что эти че­ты­ре точки лежат на па­ра­бо­ле, за­да­ва­е­мой урав­не­ни­ем вида y = ax в квад­ра­те плюс bx плюс c.


Трой­ка целых чисел (x, y, z), наи­боль­ший общий де­ли­тель ко­то­рых равен 1, яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния

y в квад­ра­те z плюс yz в квад­ра­те = x в кубе плюс x в квад­ра­те z минус 2xz в квад­ра­те .

До­ка­жи­те, что z яв­ля­ет­ся кубом це­ло­го числа.


Внут­ри вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка ABCD рас­по­ло­же­ны че­ты­ре окруж­но­сти од­но­го ра­ди­у­са так, что они имеют общую точку и каж­дая из них впи­са­на в один из углов четырёхуголь­ни­ка. До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник ABCD впи­сан­ный.

Всего: 1000    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80