Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Вокруг треугольника ABC с углом ∠B = 60° описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке B1. На лучах AB и CB отметили точки A0 и C0 соответственно так, что AA0 = AC = CC0. Докажите, что точки A0, C0, B1 лежат на одной прямой.
то получим:
т. е. точка A0 расположена внутри ∠AB1C, см. рис. слева. Аналогично треугольник C0CB1 равнобедренный, и 
Сумма этих углов равна:
получаем:
Каждый ход шахматного коня — перемещение на одну клетку по горизонтали и две по вертикали, либо наоборот — одну по вертикали и две по горизонтали. (На рисунке справа конь, отмеченный буквой К, может за один ход переместиться в любую из затемнённых клеток.)
В произвольной клетке прямоугольной доски размером 2 × 2016 клеток стоит шахматный конь. Перемещаясь по описанному правилу (и не выходя при этом за края доски), он может из этой клетки попасть в некоторые другие клетки доски, но не во все. Какое наименьшее количество клеток нужно добавить к доске, чтобы конь мог из любой клетки доски попасть во все остальные? (Добавление клетки происходит так, чтобы она имела общую сторону с одной из уже имеющихся. Добавлять можно любое количество клеток, получившаяся при этом доска не обязательно должна иметь прямоугольную форму).
Петя хочет проверить знания своего брата Коли — победителя олимпиады ”Высшая проба” по математике. Для этого Петя задумал три натуральных числа a, b, c, и вычислил x = НОД(a, b), y = НОД(b, c), z = НОД(c, a). Затем он написал на доске три ряда по пять чисел в каждом:
6, 8, 12, 18, 24
14, 20, 28, 44, 56
5, 15, 18, 27, 42
Петя сообщил Коле, что одно из чисел в первом ряду равно x, одно из чисел во втором ряду равно y, одно из чисел в третьем ряду равно z, и попросил угадать числа x, y, z. Подумав несколько минут, Коля справился с задачей, правильно назвав все три числа. Назовите их и вы. Докажите, что существует единственная такая тройка (x, y, z).
или 
Далее, оба числа 18 и 42 делятся на 3, т. е. 
Во второй строке нет чисел, делящихся на 3, т. е. 
Далее, 
Наконец, 
возможны, например, при 
Из города в деревню вышел Викентий, а навстречу ему из деревни в город одновременно вышел Афанасий. Найти расстояние между деревней и городом, если известно, что расстояние между пешеходами равнялось 2 км дважды: сначала, когда Викентий прошёл половину пути до деревни, и потом, когда Афанасий прошѐл треть пути до города.
во втором 
Отсюда, исключая x и y, имеем 
откуда 
км.
(всего 9 девяток) в виде суммы двух чисел В и С, суммы цифр которых одинаковы. Если при сложении цифр последних разрядов В и С происходит переход единицы в предыдущий разряд, то последняя цифра суммы не превосходит 8. Но в последнем разряде А стоит девятка, поэтому перехода единицы не происходит и сумма цифр последних разрядов В и С равна 9. Аналогично, рассуждая слева направо для оставшихся разрядов, видим, что в каждом разряде В и С сумма цифр равна 9 и перехода единицы не происходит. При этом мы считаем, что в первом разряде одного из них стоит 0. Тогда сумма цифр В плюс сумма цифр С, равная удвоенной сумме цифр В, должна равняться сумме цифр А, то есть 91 — нечётному числу. Противоречие.
Найти максимальное значение суммы 
Тогда при замене пары a, c на пару 
получим
При замене пары b, d на пару 
получим
имеем 
поэтому 
и разность в предыдущем предложении положительна. Следовательно, максимум выражения достигается при 
и равен 
Три различных положительных числа являются тремя последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Эти же три числа являются тремя (не обязательно последовательными) членами некоторой геометрической прогрессии. Приведите пример трёх таких чисел.
При таком значении q числа 1, q, q3 удовлетворяют условию задачи.
Найдите значение параметра b.
Тогда 
то есть 
Бухгалтеры, менеджеры и экономисты банка сидят за круглым столом. Когда директор попросил поднять руку бухгалтеров, рядом с которыми сидит экономист, руку подняли 20 человек. А когда директор попросил поднять руку менеджеров, рядом с которыми сидит экономист, руку подняли 25 человек. Докажите, что рядом с кем-то из поднимавших руку сидит сразу два экономиста.
}.
и 
Докажите, что уравнение 
имеет два различных корня.
где 
и числа 1 и 2 являются корнями данного уравнения, либо эти значения имеют разные знаки, что также означает, что график функции 
пересекает ось абсцисс в двух различных точках.
Пусть все фирмы страны имеют определенный ранг, который является натуральным числом. При слиянии двух фирм рангов m и n получается новая фирма ранга (m + n). Прибыль полученной фирмы будет на m · n больше суммы прибылей фирм ее образующих. Прибыль фирмы первого ранга равна 1 д. е. Существует ли ранг, при котором прибыль фирмы будет равна 2016 д. е.?
Докажем, что 
пересекается с некоторой окружностью в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на параболе, задаваемой уравнением вида 
для некоторых чисел a, b, c. Поскольку точки пересечения окружности и и параболы 
Возьмём любое простое число p и докажем, что степень его вхождения в z делится на 3. Понятно, что из этого следует, что z является кубом целого числа.
равно k, если n делится на pk и не делится на pk+1 (будем считать, что 
). Сгруппируем слагаемые:
на 3. 
Тогда z2 делится на p6k+2, а степень p, на которую делится x3, делится на 3. Таким образом, два слагаемых в левой части и правая часть делятся на попарно разные степени p, так как остатки этих степеней по модулю 3 различны (так как 
и 
не делятся на p). Тогда равенство не может быть выполнено. В случае 
аналогично равенство не может быть выполнено. Значит, остаётся только случай, где